Реши

Ниже подробные решения по каждой задаче из картинки. Поскольку цель — “Понять”, дам пошаговые объяснения и вынесу ответ по каждому пункту. 1) Периметр параллелограмма равен 148 см. Найдите стороны, если одна сторона на 4 см больше другой. - Пусть стороны равны a и b, с условием a ≥ b. Периметр P = 2(a + b) = 148 ⇒ a + b = 74. - По условию одна сторона на 4 см больше другой: a = b + 4. - Подставляем: (b + 4) + b = 74 ⇒ 2b = 70 ⇒ b = 35 см. Тогда a = 39 см. - Ответ: стороны параллелограмма 39 см и 35 см. 2) Дан параллелограмм NSPC, F — точка пересечения диагоналей. Найдите периметр треугольника PFC, если NS = 50 см, NP = 68 см, SC = 44 см. - В параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах: PF = NP/2 = 68/2 = 34 см; FC = SC/2 = 44/2 = 22 см. Противолежащие стороны параллелограмма равны: PC = NS = 50 см. - Периметр треугольника PFC: PF + FC + PC = 34 + 22 + 50 = 106 см. - Ответ: 106 см. 3) На стороне XB треугольника MXB взята точка H. Через эту точку проведены две прямые: одна параллельна MB и пересекает MX в точке D; другая параллельна MX и пересекает MB в точке K. Найдите углы MDHK, если ∠X = 139°, ∠B = 28°. - В треугольнике MXB угол при M равен ∠BMX = 180° − ∠X − ∠B = 180° − 139° − 28° = 13°. - Прямая через H, параллельная MB, и прямая через H, параллельная MX образуют параллелограмм MDHK: MD ∥ HK (оба по MX) и DH ∥ MK (оба по MB). - В parallelogram MDHK суммарно углы вокруг M и H равны 13°, а углы при D и K равны 180° − 13° = 167°. - Ответ: углы MDHK чередуются как 13°, 167°, 13°, 167° (M и H по 13°, D и K по 167°). 4) Дан параллелограмм HOME такой, что ∠HOE = 44°, ∠HEO = 9°. Найдите углы параллелограмма HOME. - ∠HOE — угол между сторонами OH и OE, т.е. угол параллелограмма в вершине O. Следовательно, ∠O = 44°. - В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние углы supplementary: ∠M = ∠O = 44°, а ∠E = ∠H = 180° − 44° = 136°. - Примечание: ∠HEO = 9° — это угол между диагональю HE и стороной EO, то есть дополнительная информация, не влияющая на внутренние углы параллелограмма. - Ответ: углы параллелограмма HOME равны 44°, 136°, 44°, 136° (по очереди в вершинах H, O, M, E). 5) Биссектриса острого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если периметр равен 96. - Пусть стороны параллелограмма — a и b, где a ≤ b (меньшая и большая сторона соответственно). - Пусть параллелограмм имеет острый угол при вершине A. Биссектриса острого угла в треугольнике, образованном сторонами a и b, пересекает противоположную сторону BC и делит ее в отношении BE:EC = 1:4. Это даёт s = BE/BC = 1/5. - В координатном виде можно показать, что BE:EC = a:(b − a), следовательно a:(b − a) = 1:4 ⇒ a = (b − a)/4 ⇒ 5a = b. - Периметр P = 2(a + b) = 96 ⇒ a + b = 48. Подставляем b = 5a: a + 5a = 48 ⇒ 6a = 48 ⇒ a = 8, b = 40. - Большая сторона параллелограмма равна b = 40 см. - Ответ: 40 см. 6) В параллелограмме P A R H диагональ PR в 2 раза больше стороны PA и ∠PRH = 88°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. - Обозначим стороны как векторно: PA = a, PH = v. Диagonal PR = a + v иAH = v − a. - Условие PR = 2·PA даёт |a + v| = 2|a|. - Угол ∠PRH задаёт угол между векторами PR и RH; вектор RH равен −a, так как R соединён с H параллельно сторонам. Следовательно угол между PR и RH равен углу между a + v и a, то есть между векторами a + v и a. Соответственно косинус этого угла равен cos θ = ((a + v)·a) / (|a + v| |a|) = (a^2 + a·v) / (2 a^2) = 1/2 + (a·v)/(2 a^2). - Запишем, что cos θ = cos 88° = c. Тогда (a·v) = a^2(2c − 1). - Чтобы найти угол между диагоналями, рассмотрим косинус угла между PR = a + v и AH = v − a: cos φ = [(a + v)·(v − a)] / (|a + v| |v − a|). Вычисления (через введение a = 1 для простоты и подстановку c = cos 88°) дают упрощённое выражение: cos φ = sqrt((1 − c)/2). - Подставим c = cos 88° ≈ 0.034899; cos φ ≈ sqrt((1 − 0.034899)/2) ≈ sqrt(0.4825) ≈ 0.6947. - φ ≈ arccos(0.6947) ≈ 46°. - Ответ: меньший угол между диагоналями примерно 46°. 7) ZDKS — квадрат, точка P — пересечения диагоналей. a) Найдите углы треугольника ZDK. b) Найдите углы треугольника ZPD. - В квадрате диагонали соблюдают: они взаимно перпендикулярны и пересекаются в центре; диагонали ZK и DS пересекаются под углом 90°. - Треугольник ZDK состоит из стороны ZD (ребро квадрата), DK (ребро квадрата) и диагонали ZK. Угол ZDK при D — 90° (это угол между сторонами DZ и DK, которые являются соседними сторонами квадрата). Угол при Z равен углу между ZD и ZK; диагональ ZK делит угол между ZD и ZS пополам и образует 45° с каждой стороны квадрата, поэтому ∠ZKD = ∠Z = 45°. Аналогично ∠DKZ = 45°. Итог: 45°, 90°, 45°. - Треугольник ZPD состоит из Z, P (центр), D. Угол при P — угол между радиусами к Z и D, т.е. между диагоналями ZK и DS; в квадрате diagonals перпендикулярны, значит ∠ZPD = 90°. Углы при Z и D — по 45° каждый (радиусы к соседним вершинам квадрата образуют 45° с соответствующими сторонами). Итог: 45°, 45°, 90°. - Ответ: a) В triangle ZDK углы: 45°, 90°, 45°. b) В triangle ZPD углы: 45°, 45°, 90°. Итоги по всем пунктам: 1) 39 см и 35 см. 2) 106 см. 3) Углы MDHK: 13°, 167°, 13°, 167°. 4) Углы HOME: 44°, 136°, 44°, 136°. 5) Большая сторона параллелограмма — 40 см. 6) Меньший угол между диагоналями — приблизительно 46°. 7) a) 45°, 90°, 45°; b) 45°, 45°, 90°.