реши

Ниже подробные решения по каждой задаче из картинки. Поскольку цель — “Понять”, дам пошаговые объяснения и вынесу ответ по каждому пункту.

1. Периметр параллелограмма равен 148 см. Найдите стороны, если одна сторона на 4 см больше другой.

• Пусть стороны равны a и b, с условием a ≥ b. Периметр P = 2(a + b) = 148 ⇒ a + b = 74.
• По условию одна сторона на 4 см больше другой: a = b + 4.
• Подставляем: (b + 4) + b = 74 ⇒ 2b = 70 ⇒ b = 35 см. Тогда a = 39 см.
• Ответ: стороны параллелограмма 39 см и 35 см.

2. Дан параллелограмм NSPC, F — точка пересечения диагоналей. Найдите периметр треугольника PFC, если NS = 50 см, NP = 68 см, SC = 44 см.

• В параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах: PF = NP/2 = 68/2 = 34 см; FC = SC/2 = 44/2 = 22 см. Противолежащие стороны параллелограмма равны: PC = NS = 50 см.
• Периметр треугольника PFC: PF + FC + PC = 34 + 22 + 50 = 106 см.
• Ответ: 106 см.

3. На стороне XB треугольника MXB взята точка H. Через эту точку проведены две прямые: одна параллельна MB и пересекает MX в точке D; другая параллельна MX и пересекает MB в точке K. Найдите углы MDHK, если ∠X = 139°, ∠B = 28°.

• В треугольнике MXB угол при M равен ∠BMX = 180° − ∠X − ∠B = 180° − 139° − 28° = 13°.
• Прямая через H, параллельная MB, и прямая через H, параллельная MX образуют параллелограмм MDHK: MD ∥ HK (оба по MX) и DH ∥ MK (оба по MB).
• В parallelogram MDHK суммарно углы вокруг M и H равны 13°, а углы при D и K равны 180° − 13° = 167°.
• Ответ: углы MDHK чередуются как 13°, 167°, 13°, 167° (M и H по 13°, D и K по 167°).

4. Дан параллелограмм HOME такой, что ∠HOE = 44°, ∠HEO = 9°. Найдите углы параллелограмма HOME.

• ∠HOE — угол между сторонами OH и OE, т.е. угол параллелограмма в вершине O. Следовательно, ∠O = 44°.
• В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние углы supplementary: ∠M = ∠O = 44°, а ∠E = ∠H = 180° − 44° = 136°.
• Примечание: ∠HEO = 9° — это угол между диагональю HE и стороной EO, то есть дополнительная информация, не влияющая на внутренние углы параллелограмма.
• Ответ: углы параллелограмма HOME равны 44°, 136°, 44°, 136° (по очереди в вершинах H, O, M, E).

5. Биссектриса острого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если периметр равен 96.

• Пусть стороны параллелограмма — a и b, где a ≤ b (меньшая и большая сторона соответственно).
• Пусть параллелограмм имеет острый угол при вершине A. Биссектриса острого угла в треугольнике, образованном сторонами a и b, пересекает противоположную сторону BC и делит ее в отношении BE:EC = 1:4. Это даёт s = BE/BC = 1/5.
• В координатном виде можно показать, что BE:EC = a:(b − a), следовательно a:(b − a) = 1:4 ⇒ a = (b − a)/4 ⇒ 5a = b.
• Периметр P = 2(a + b) = 96 ⇒ a + b = 48. Подставляем b = 5a: a + 5a = 48 ⇒ 6a = 48 ⇒ a = 8, b = 40.
• Большая сторона параллелограмма равна b = 40 см.
• Ответ: 40 см.

6. В параллелограмме P A R H диагональ PR в 2 раза больше стороны PA и ∠PRH = 88°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

• Обозначим стороны как векторно: PA = a, PH = v. Диagonal PR = a + v иAH = v − a.
• Условие PR = 2·PA даёт |a + v| = 2|a|.
• Угол ∠PRH задаёт угол между векторами PR и RH; вектор RH равен −a, так как R соединён с H параллельно сторонам. Следовательно угол между PR и RH равен углу между a + v и a, то есть между векторами a + v и a. Соответственно косинус этого угла равен cos θ = ((a + v)·a) / (|a + v| |a|) = (a^2 + a·v) / (2 a^2) = 1/2 + (a·v)/(2 a^2).
• Запишем, что cos θ = cos 88° = c. Тогда (a·v) = a^2(2c − 1).
• Чтобы найти угол между диагоналями, рассмотрим косинус угла между PR = a + v и AH = v − a: cos φ = [(a + v)·(v − a)] / (|a + v| |v − a|). Вычисления (через введение a = 1 для простоты и подстановку c = cos 88°) дают упрощённое выражение: cos φ = sqrt((1 − c)/2).
• Подставим c = cos 88° ≈ 0.034899; cos φ ≈ sqrt((1 − 0.034899)/2) ≈ sqrt(0.4825) ≈ 0.6947.
• φ ≈ arccos(0.6947) ≈ 46°.
• Ответ: меньший угол между диагоналями примерно 46°.

7. ZDKS — квадрат, точка P — пересечения диагоналей. a) Найдите углы треугольника ZDK. b) Найдите углы треугольника ZPD.

• В квадрате диагонали соблюдают: они взаимно перпендикулярны и пересекаются в центре; диагонали ZK и DS пересекаются под углом 90°.

• Треугольник ZDK состоит из стороны ZD (ребро квадрата), DK (ребро квадрата) и диагонали ZK. Угол ZDK при D — 90° (это угол между сторонами DZ и DK, которые являются соседними сторонами квадрата). Угол при Z равен углу между ZD и ZK; диагональ ZK делит угол между ZD и ZS пополам и образует 45° с каждой стороны квадрата, поэтому ∠ZKD = ∠Z = 45°. Аналогично ∠DKZ = 45°. Итог: 45°, 90°, 45°.

• Треугольник ZPD состоит из Z, P (центр), D. Угол при P — угол между радиусами к Z и D, т.е. между диагоналями ZK и DS; в квадрате diagonals перпендикулярны, значит ∠ZPD = 90°. Углы при Z и D — по 45° каждый (радиусы к соседним вершинам квадрата образуют 45° с соответствующими сторонами). Итог: 45°, 45°, 90°.

• Ответ: a) В triangle ZDK углы: 45°, 90°, 45°. b) В triangle ZPD углы: 45°, 45°, 90°.

Итоги по всем пунктам:

1. 39 см и 35 см.
2. 106 см.
3. Углы MDHK: 13°, 167°, 13°, 167°.
4. Углы HOME: 44°, 136°, 44°, 136°.
5. Большая сторона параллелограмма — 40 см.
6. Меньший угол между диагоналями — приблизительно 46°.
7. a) 45°, 90°, 45°; b) 45°, 45°, 90°.