На примере стержня. Ось удалена от края на 1/4 L. Посчитать момент инерции

Задача: тонкий стержень длиной L и массой m. Ось проходит перпендикулярно стержню и через точку, которая находится на расстоянии L/4 от одного конца стержня. Найти момент инерции I.

Пояснение и решение (шаг за шагом):

• Шаг 1. Момент инерции стержня вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярно стержню. I_center = (1/12) m L^2.

• Шаг 2. Определим расстояние d между осью и центром масс стержня. Центр масс стержня находится на расстоянии L/2 от соответствующего конца. Ось находится на расстоянии a = L/4 от этого же конца. Следовательно, d = |L/2 − L/4| = L/4.

• Шаг 3. Применим теорему параллельных осей: I_axis = I_center + m d^2 = (1/12) m L^2 + m (L/4)^2 = m L^2 (1/12 + 1/16) = m L^2 (4/48 + 3/48) = (7/48) m L^2.

• Альтернативный метод (мгновенная проверка через интеграл). Пусть ось через точку x = a = L/4 вдоль стержня, ось перпендикулярна стержню. I = (m/L) ∫_0^L (x − a)^2 dx = (m/L) [L^3/3 − a L^2 + a^2 L] Подстановкой a = L/4 получаем тот же результат: I = (7/48) m L^2.

Ответ: I = (7/48) m L^2.

Дополнительно:

• Если ось была на другом расстоянии a от края, общее выражение через параллельную ось: I_axis = I_center + m (|L/2 − a|)^2.
• Для общего понимания: I_end = (1/3) m L^2, I_center = (1/12) m L^2, и значения растут по мере смещения оси от центра к концам.