На координатной плоскости изображен тупоугольный треугольник ABC с вершинами в узлах сетки. Косинус угла ABC этого треугольника равен:

Пожалуйста, пришлите координаты вершин A, B и C (или изображение треугольника). По ним можно точно посчитать косинус угла ∠ABC. Сейчас в задаче нет конкретных координат, поэтому дам подробный алгоритм и пример, как получить ответ.

Как посчитать cos ∠ABC (пошагово)

• Обозначения: A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3).
• Векторы из вершины B:
  • BA = A − B = (x1 − x2, y1 − y2)
  • BC = C − B = (x3 − x2, y3 − y2)
• Скалярное произведение:
  • BA · BC = (x1 − x2)(x3 − x2) + (y1 − y2)(y3 − y2)
• Модули векторов:
  • |BA| = sqrt((x1 − x2)² + (y1 − y2)²)
  • |BC| = sqrt((x3 − x2)² + (y3 − y2)²)
• Косинус угла при вершине B:
  • cos ∠ABC = (BA · BC) / (|BA| · |BC|)
• Альтернативный способ (через стороны):
  • Обозначим a = BC, c = BA, b = AC (длины соответствующих сторон).
  • a² = (x3 − x2)² + (y3 − y2)²
  • c² = (x1 − x2)² + (y1 − y2)²
  • b² = (x3 − x1)² + (y3 − y1)²
  • cos ∠ABC = (a² + c² − b²) / (2ac)

Дополнительные примечания

• Поскольку треугольник тупоугольный, cos ∠ABC должно быть отрицательным.
• Если хотите проверить знак быстрее: векторное произведение (или скалярное) BA · BC < 0 означает, что угол тупой (cos < 0).

Пример для иллюстрации (заданные координаты: A(−1, 2), B(0, 0), C(2, −1))

• BA = (−1 − 0, 2 − 0) = (−1, 2)
• BC = (2 − 0, −1 − 0) = (2, −1)
• BA · BC = (−1)·2 + 2·(−1) = −4
• |BA| = sqrt(1 + 4) = sqrt(5), |BC| = sqrt(4 + 1) = sqrt(5)
• cos ∠ABC = (−4) / (sqrt(5) · sqrt(5)) = −4/5

Если вы пришлёте конкретные координаты A, B и C или изображение треугольника, я сразу посчитаю точное значение cos ∠ABC.