(1-i)⁴

Задача: (1 − i)^4

Ответ: -4

Способ 1. Через возведение в квадрат два раза

1. Найдём (1 − i)^2: (1 − i)^2 = 1 − 2i + i^2 = 1 − 2i − 1 = −2i
2. Затем возведём в квадрат: (1 − i)^4 = [(1 − i)^2]^2 = (−2i)^2 = (−2)^2 · i^2 = 4 · (−1) = −4

Способ 2. По биномиальной формуле (1 − i)^4 = Σ_{k=0}^4 C(4,k) · 1^{4−k} · (−i)^k = C(4,0)·1^4·(−i)^0 + C(4,1)·1^3·(−i)^1 + C(4,2)·1^2·(−i)^2 + C(4,3)·1^1·(−i)^3 + C(4,4)·1^0·(−i)^4 = 1 + 4(−i) + 6(−i)^2 + 4(−i)^3 + (−i)^4 compute: (−i)^2 = −1, (−i)^3 = i, (−i)^4 = 1 = 1 − 4i − 6 + 4i + 1 = −4

Пояснение (для понимания):

• Свойство i^2 = −1 часто упрощает подобные задачи.
• Можно увидеть, что результат реально равен −4 (модуль и аргумент можно проверить через полярную форму: |1 − i| = √2, аргумент −π/4, поэтому (√2)^4 = 4 и аргумент −π, т.е. величина на оси Ox в −4).