m+n=45 и (m, n)=9

Задача: m + n = 45 и (m, n) = 9. Предположим, что m и n — положительные целые числа (обычно в таких задачах так и делают).

Пошаговое решение:

• Так как gcd(m, n) = 9, оба числа делятся на 9. Обозначим m = 9a и n = 9b, где a и b — натуральные числа.
• Тогда сумма даёт: m + n = 9a + 9b = 9(a + b) = 45. Значит a + b = 5.
• Так как gcd(m, n) = 9, то gcd(9a, 9b) = 9 · gcd(a, b) = 9, следовательно gcd(a, b) = 1.
• Нужно подобрать натуральные а и b такие, что a + b = 5 и gcd(a, b) = 1.
• Все пары (a, b) с суммой 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).
  • gcd(1, 4) = 1, gcd(2, 3) = 1, gcd(3, 2) = 1, gcd(4, 1) = 1 — подходит каждое.
• Преобразуем обратно: m = 9a, n = 9b. Получаем решения:
  • (m, n) = (9, 36)
  • (m, n) = (18, 27)
  • (m, n) = (27, 18)
  • (m, n) = (36, 9)

Проверка:

• 9 + 36 = 45, gcd(9, 36) = 9
• 18 + 27 = 45, gcd(18, 27) = 9
• Аналогично для остальных.

Итого: в условии для натуральных m и n существует четыре упорядоченных пары: (9, 36), (18, 27), (27, 18), (36, 9).

Примечание: если разрешены целые числа любого знака, можно получить и другие пары, например с отрицательными а и b, но обычно в таких задачах имеют в виду положительные числа.