какая производная получится: y=(4/(3-7x)⁵)?
Задача: найти производную y = 4/(3 - 7x)^5.
Перепишем функцию в удобном виде для дифференцирования: y = 4 (3 - 7x)^(-5).
Применим цепное правило. Для f(x) = [u(x)]^n верно f'(x) = n [u(x)]^(n-1) · u'(x). Здесь u(x) = 3 - 7x, n = -5, и u'(x) = d/dx(3 - 7x) = -7.
Подставим: dy/dx = 4 · (-5) · (3 - 7x)^(-6) · (-7).
Упростим: (-5) · (-7) = 35, 4 · 35 = 140.
Поэтому dy/dx = 140 (3 - 7x)^(-6).
Приведём к более привычной форме: dy/dx = 140 / (3 - 7x)^6.
Пояснение по домену:
- Производная существует при x ≠ 3/7 (там знаменатель исходной функции обращается в нуль).
- Таким образом, y' = 140 / (3 - 7x)^6 для всех допустимых x.
Обсуждение
6 сообщенийнайди производную: y=(7-6x²+2x)
Чтобы найти производную функции \( y = 7 - 6x^2 + 2x \), воспользуемся правилами дифференцирования:
- Производная константы равна нулю.
- Производная \( x^n \) равна \( n \cdot x^{n-1} \).
Теперь найдем производную:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(7) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(2x) \]
Вычислим по отдельности:
- \( \frac{d}{dx}(7) = 0 \)
- \( \frac{d}{dx}(-6x^2) = -12x \) (т.к. \( -6 \cdot 2 = -12 \))
- \( \frac{d}{dx}(2x) = 2 \)
Теперь мы можем сложить все части:
\[ \frac{dy}{dx} = 0 - 12x + 2 \]
Таким образом, производная будет:
\[ \frac{dy}{dx} = -12x + 2 \]
Это и есть искомая производная.
найди производную: y=(4sin²(2x+π/6))
Чтобы найти производную функции \( y = 4\sin^2(2x + \frac{\pi}{6}) \), воспользуемся цепным правилом и правилом дифференцирования.
Применим цепное правило. Напомним, что если у нас есть функция \( f(g(x)) \), то \( \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).
Запишем производную:
- \( u = 2x + \frac{\pi}{6} \)
- \( y = 4\sin^2(u) \)
Теперь применим производную:
\[ \frac{dy}{dx} = 4 \cdot 2\sin(u) \cdot \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
Вычислим \( \frac{du}{dx} \):
- \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x + \frac{\pi}{6}) = 2 \)
Подставим все части в уравнение: \[ \frac{dy}{dx} = 4 \cdot 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) \cdot \cos(2x + \frac{\pi}{6}) \cdot 2 \] \[ = 16\sin(2x + \frac{\pi}{6})\cos(2x + \frac{\pi}{6}) \]
Мы знаем, что \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \). Таким образом, \[ 16\sin(2x + \frac{\pi}{6})\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = 8\sin(4x + \frac{\pi}{3}) \] (в силу двойных углов).
Теперь запишем ответ:
\[ \frac{dy}{dx} = 8\sin(4x + \frac{\pi}{3}) \]
Таким образом, производная \( y = 4\sin^2(2x + \frac{\pi}{6}) \) равна \( 8\sin(4x + \frac{\pi}{3}) \).
давай без символов
Хорошо, давай найдем производную функции \( y = 4 * (sin(2x + π/6))^2 \) шаг за шагом без использования символов.
У нас есть функция \( y = 4 * (sin(2x + π/6))^2 \).
Метод, который мы будем использовать, называется цепное правило. Мы будем рассматривать \( sin(2x + π/6) \) как внутреннюю функцию и \( (sin(...))^2 \) как внешнюю функцию.
Первая работа — различить части функции:
- Внешняя функция: \( 4 * u^2 \), где \( u = sin(2x + π/6) \).
- Внутренняя функция: \( sin(2x + π/6) \).
Давайте сначала определим производную внешней функции:
- Производная \( 4 * u^2 \) по u равна \( 8u \).
Теперь найдем производную внутренней функции:
- Внутреннее у равно \( sin(2x + π/6) \).
- Производная \( sin(z) \) по z равна \( cos(z) \).
- Теперь нам нужно найти производную \( 2x + π/6 \) по x, которая равна 2.
Подставим все обратно:
- Производная y по x будет равна \( 8u * (cos(2x + π/6) * 2) \).
Теперь заменим u обратно на \( sin(2x + π/6) \):
- Получаем \( 8 * (sin(2x + π/6)) * (2 * cos(2x + π/6)) \).
Упростим:
- Это равняется \( 16 * (sin(2x + π/6)) * (cos(2x + π/6)) \).
Теперь у нас есть ответ. Производная функции \( y = 4 * (sin(2x + π/6))^2 \) равна \( 16 * (sin(2x + π/6)) * (cos(2x + π/6)) \).
