2|x+2|+|x-3|=7-2x

Задача: 2|x+2| + |x-3| = 7 - 2x Цель: понять решение пошагово. 1) Разбираем модуль по знакам выражений внутри модулей. В точках x = -2 и x = 3 выражения внутри модулей меняют знак. Разделим на три случая: - Case A: x ≤ -2 - Case B: -2 ≤ x ≤ 3 - Case C: x ≥ 3 2) Раскрываем модули в каждом случае и решаем получившееся линейное уравнение. Case A: x ≤ -2 - |x+2| = -(x+2) = -x - 2 - |x-3| = -(x-3) = -x + 3 Левая часть: 2(-x - 2) + (-x + 3) = -2x - 4 - x + 3 = -3x - 1 Уравнение: -3x - 1 = 7 - 2x Переносим: -3x + 2x = 7 + 1 ⇒ -x = 8 ⇒ x = -8 Проверяем условие принадлежности: -8 ≤ -2, подходит. Проверка: 2|-8+2| + |-8-3| = 2| -6| + | -11| = 12 + 11 = 23; 7 - 2(-8) = 7 + 16 = 23. Хорошо. Case B: -2 ≤ x ≤ 3 - |x+2| = x + 2 - |x-3| = -(x-3) = -x + 3 Левая часть: 2(x+2) + (-x+3) = 2x + 4 - x + 3 = x + 7 Уравнение: x + 7 = 7 - 2x 3x = 0 ⇒ x = 0 Проверяем условие: -2 ≤ 0 ≤ 3, подходит. Проверка: 2|0+2| + |0-3| = 2·2 + 3 = 7; 7 - 0 = 7. Ок. Case C: x ≥ 3 - |x+2| = x + 2 - |x-3| = x - 3 Левая часть: 2(x+2) + (x-3) = 2x + 4 + x - 3 = 3x + 1 Уравнение: 3x + 1 = 7 - 2x 5x = 6 ⇒ x = 6/5 = 1.2 Но 1.2 не удовлетворяет условию x ≥ 3, значит решений в этом случае нет. 3) Итог Единственные решения: x = -8 и x = 0. Расширенная проверка показывают, что оба удовлетворяют исходному уравнению.