2|x+2|+|x-3|=7-2x
Задача: 2|x+2| + |x-3| = 7 - 2x
Цель: понять решение пошагово.
- Разбираем модуль по знакам выражений внутри модулей. В точках x = -2 и x = 3 выражения внутри модулей меняют знак. Разделим на три случая:
- Case A: x ≤ -2
- Case B: -2 ≤ x ≤ 3
- Case C: x ≥ 3
- Раскрываем модули в каждом случае и решаем получившееся линейное уравнение.
Case A: x ≤ -2
- |x+2| = -(x+2) = -x - 2
- |x-3| = -(x-3) = -x + 3 Левая часть: 2(-x - 2) + (-x + 3) = -2x - 4 - x + 3 = -3x - 1 Уравнение: -3x - 1 = 7 - 2x Переносим: -3x + 2x = 7 + 1 ⇒ -x = 8 ⇒ x = -8 Проверяем условие принадлежности: -8 ≤ -2, подходит. Проверка: 2|-8+2| + |-8-3| = 2| -6| + | -11| = 12 + 11 = 23; 7 - 2(-8) = 7 + 16 = 23. Хорошо.
Case B: -2 ≤ x ≤ 3
- |x+2| = x + 2
- |x-3| = -(x-3) = -x + 3 Левая часть: 2(x+2) + (-x+3) = 2x + 4 - x + 3 = x + 7 Уравнение: x + 7 = 7 - 2x 3x = 0 ⇒ x = 0 Проверяем условие: -2 ≤ 0 ≤ 3, подходит. Проверка: 2|0+2| + |0-3| = 2·2 + 3 = 7; 7 - 0 = 7. Ок.
Case C: x ≥ 3
- |x+2| = x + 2
- |x-3| = x - 3 Левая часть: 2(x+2) + (x-3) = 2x + 4 + x - 3 = 3x + 1 Уравнение: 3x + 1 = 7 - 2x 5x = 6 ⇒ x = 6/5 = 1.2 Но 1.2 не удовлетворяет условию x ≥ 3, значит решений в этом случае нет.
- Итог Единственные решения: x = -8 и x = 0.
Расширенная проверка показывают, что оба удовлетворяют исходному уравнению.
Обсуждение
2 сообщенияx²+2x-3|x+1|+3 = 0.
Для решения уравнения \( x^2 + 2x - 3|x + 1| + 3 = 0 \) нужно рассмотреть два случая, в зависимости от значения выражения внутри модуля \( |x + 1| \).
Шаг 1: Определение случаев
Условие для модуля - находясь в зависимости от значения \( x + 1 \):
- Случай 1: \( x + 1 \geq 0 \) (или \( x \geq -1 \)) → \( |x + 1| = x + 1 \)
- Случай 2: \( x + 1 < 0 \) (или \( x < -1 \)) → \( |x + 1| = - (x + 1) = -x - 1 \)
Шаг 2: Решение уравнения по случаям
Случай 1: \( x \geq -1 \)
Подставим \( |x + 1| = x + 1 \):
\[ x^2 + 2x - 3(x + 1) + 3 = 0 \]
Упрощаем:
\[ x^2 + 2x - 3x - 3 + 3 = 0 \]
\[ x^2 - x = 0 \]
Факторизуем:
\[ x(x - 1) = 0 \]
Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 1 \).
Проверим, подходят ли решения под условие \( x \geq -1 \):
- \( x = 0 \) ⇒ подходит
- \( x = 1 \) ⇒ подходит
Случай 2: \( x < -1 \)
Подставим \( |x + 1| = - (x + 1) = -x - 1 \):
\[ x^2 + 2x - 3(-x - 1) + 3 = 0 \]
Упрощаем:
\[ x^2 + 2x + 3x + 3 + 3 = 0 \]
\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \]
Факторизуем:
\[ (x + 2)(x + 3) = 0 \]
Отсюда \( x = -2 \) или \( x = -3 \).
Проверим, подходят ли решения под условие \( x < -1 \):
- \( x = -2 \) ⇒ подходит
- \( x = -3 \) ⇒ подходит
Шаг 3: Проверка всех решений
Решения уравнения:
- \( x = 0 \)
- \( x = 1 \)
- \( x = -2 \)
- \( x = -3 \)
Теперь давайте подставим их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они действительны:
Для \( x = 0 \): \[ 0^2 + 2 \cdot 0 - 3|0 + 1| + 3 = 0 + 0 - 3 \cdot 1 + 3 = 0 \] Подходит.
Для \( x = 1 \): \[ 1^2 + 2 \cdot 1 - 3|1 + 1| + 3 = 1 + 2 - 3 \cdot 2 + 3 = 1 + 2 - 6 + 3 = 0 \] Подходит.
Для \( x = -2 \): \[ (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3|-2 + 1| + 3 = 4 - 4 - 3 \cdot 1 + 3 = 4 - 4 - 3 + 3 = 0 \] Подходит.
Для \( x = -3 \): \[ (-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 3|-3 + 1| + 3 = 9 - 6 - 3 \cdot 2 + 3 = 9 - 6 - 6 + 3 = 0 \] Подходит.
Итог
Ответ: \( x = 0, x = 1, x = -2, x = -3 \).
