31-Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины А, С, В1, С1 правильной треугольной призмы АВСА1B1C1. Площадь основания призмы равна 3, а боковое ребро равно 5. 32-В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 3, найдите угол между прямыми CD и E1F1. Ответ дайте в градусах. 35-Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, A1, B1, C1, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2. 37-В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка О - центр основания, SO=15, BD=40. Найдите длину отрезка SA. 39-В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.

Ниже краткие решения для задач 31, 32, 35, 37, 39. 31. Объем тетраэдра с вершинами A, C, B1, C1 в правильной треугольной призме ABC A1B1C1. - Основание ABC равно равностороннему треугольнику площадью 3, высота призмы (длина бокового ребра) h = 5. - Поместим основание в плоскость z = 0: A(0,0,0), B(s,0,0), C(s/2, √3 s/2, 0). Тогда A1, B1, C1 над ними на высоте 5. - Пусть тетраэдр имеет вершины A, C, B1, C1. Вычислим объем как |det(C−A, B1−A, C1−A)|/6. В= |det([s/2, √3 s/2, 0], [s,0,5], [s/2, √3 s/2, 5])|/6 = (5√3 s^2)/12. - Площадь основания равностороннего треугольника S = (√3/4) s^2 = 3 ⇒ s^2 = 4√3. - Тогда V = (5√3 · 4√3)/12 = (5 · 4 · 3)/12 = 60/12 = 5. Ответ: 5. 32. Угол между прямыми CD и E1F1 в правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 (все рёбра = 3). - В правильном шестиугольнике направления сторон образуют шесть направлений, чередуются через 60°. Сторона CD имеет направление, например, 240°, сторона EF — 0°. - E1F1 параллельна EF, следовательно направление E1F1 отличается от CD на 60° (или 120°, давайте возьмём меньший угол). Через симметрию это даёт угол 60° между CD и E1F1. Ответ: 60. 35. Объем многогранника, вершинами которого являются D, A1, B1, C1, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1; основание призмы площади 12, боковое ребро 2. - Вершины включают вершину D базового основания и все вершины верхнего основания A1…F1. Их выпуклая оболочка образует пирамиду с основанием верхнее шестиугольное основание A1B1C1D1E1F1 и вершиной D. - Высота пирамиды равна высоте призмы: h = 2. Площадь основания пирамиды равна площади верхнего основания, то есть 12. - Объем пирамиды V = (1/3) · Sоснования · высота = (1/3) · 12 · 2 = 8. Ответ: 8. 37. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (основание квадрат ABCD, apex S) точка O — центр основания, SO = 15, BD = 40. Найдите SA. - BD — диагональ квадрата основания, диагональ квадрата равна a√2, значит сторона основания a = BD/√2 = 40/√2 = 20√2. - Радиус вписанного круга (расстояние от центра до вершины) OA = a/√2 = (20√2)/√2 = 20. - Поскольку пирамиду считать правильной, ось SO перпендикулярна основанию, и SA = √(SO^2 + OA^2) = √(15^2 + 20^2) = √(225 + 400) = √625 = 25. Ответ: 25. 39. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро = 7,5, сторона основания = 10. Найдите высоту пирамиды. - Основание — квадрат со стороной a = 10. Его центр O до вершины A расстояние OA = a/√2 = 10/√2 = 5√2. - В правильной пирамиде SA — боковое ребро, SO — высота h, и SA^2 = SO^2 + OA^2. - 7,5^2 = h^2 + (5√2)^2 = h^2 + 50 ⇒ h^2 = 56,25 − 50 = 6,25 ⇒ h = 2,5. Ответ: 2,5.