9^x-6×3^x-27

Задача: решить уравнение 9^x - 6·3^x - 27 = 0.

Пошаговое решение:

• Шаг 1. Приведём степени к общему основанию. 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2.
• Шаг 2. Введём замену: t = 3^x. Тогда t > 0 и уравнение превращается в квадратичное: t^2 - 6t - 27 = 0.
• Шаг 3. Найдём корни квадратного уравнения: D = (-6)^2 - 4·1·(-27) = 36 + 108 = 144, t = [6 ± √144]/2 = [6 ± 12]/2. Получаем t1 = (6 + 12)/2 = 9 и t2 = (6 - 12)/2 = -3.
• Шаг 4. Учитывая, что t = 3^x > 0, выбираем допустимый корень: t = 9.
• Шаг 5. Вернуть x из 3^x = 9. Поскольку 9 = 3^2, имеем x = 2.
• Проверка: подставим обратно: 9^2 - 6·3^2 - 27 = 81 - 54 - 27 = 0. Это верно.

Ответ: x = 2.