(x+1)^2(x^2+2x)=12

Решение задачи: (x+1)^2 (x^2+2x) = 12

1. Приведём выражение к более удобной форме:

• x^2 + 2x = x(x+2), поэтому задача эквивалентна (x+1)^2 · x · (x+2) = 12.

2. Введём замену t = x + 1. Тогда:

• x = t - 1
• x+2 = t + 1
• (x+1)^2 = t^2

Следовательно, левая часть становится: t^2 · (t-1) · (t+1) = t^2 (t^2 - 1) = t^4 - t^2.

Уравнение принимает вид: t^4 - t^2 = 12, то есть t^4 - t^2 - 12 = 0.

3. Обозначим u = t^2 (u ≥ 0). Получаем квадратное уравнение: u^2 - u - 12 = 0.

4. Решим квадратное уравнение: D = 1 + 48 = 49, поэтому u = (1 ± 7) / 2 = 4 или -3.

5. Поскольку u = t^2, а t^2 ≥ 0, имеем:

• t^2 = 4 → t = ± 2
• t^2 = -3 не даёт действительных t (но даёт комплексные решения, см. ниже).

6. Возьмём соответствия t = x + 1:

• t = 2 → x + 1 = 2 → x = 1
• t = -2 → x + 1 = -2 → x = -3

7. Проверим ответы в реальном числе:

• Для x = 1: (1+1)^2 · (1^2 + 2·1) = 2^2 · (1 + 2) = 4 · 3 = 12 ✓
• Для x = -3: (-3+1)^2 · ((-3)^2 + 2(-3)) = (-2)^2 · (9 - 6) = 4 · 3 = 12 ✓

8. Если рассматривать комплексные решения (для полноты):

• t^2 = -3 → t = ± i√3
• x = t - 1 → x = -1 ± i√3

Итого:

• Реальные решения: x = 1 и x = -3.
• Комплексные решения: x = -1 ± i√3.