Решение для первой задачи варианта 1.
Дано: через A, B и середину M отрезка AB проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A1, B1, M1. Найдите AA1, если MM1 = 6,3 см, BB1 = 10,5 см.
1) Введём координатную модель. Пусть плоскость α — плоскость z = 0. Пусть z-координаты точек A, B, M равны a, b, m соответственно (M – середина AB, значит m = (a + b)/2). Поскольку через A, B, M проведены параллельные прямые, пересекающие α, расстояния AA1, MM1, BB1 вдоль этих прямых пропорциональны соответствующим z-координатам:
AA1 ∝ |a|, MM1 ∝ |m|, BB1 ∝ |b|.
Соответствующая пропорция записывается как:
AA1 = k|a|, MM1 = k|m|, BB1 = k|b|,
где k — константа, зависящая от направления параллельных прямых.
2) Так как M является серединой AB, получаем z-координату m = (a + b)/2.
3) Даны значения:
MM1 = 6,3 см → k|m| = 6,3,
BB1 = 10,5 см → k|b| = 10,5.
Предположим, что A, M, B лежат по одну сторону от плоскости α, тогда знаки z-компонент одинаковы и можно оперировать без модуля: m > 0, b > 0, a > 0. Тогда отношения можно опустить модули и взять:
m/b = MM1 / BB1 = 6,3 / 10,5 = 0,6.
4) По формуле m = (a + b)/2 и отношению m = 0,6 b найдем a:
a = 2m − b = 2(0,6b) − b = 0,2b.
Следовательно отношение a/m равно:
a/m = (0,2b) / (0,6b) = 1/3.
5) Тогда AA1 = k|a|, MM1 = k|m|, значит
AA1 / MM1 = |a| / |m| = 1/3,
и, следовательно,
AA1 = MM1 / 3 = 6,3 cm / 3 = 2,1 cm.
Ответ: AA1 = 2,1 см.
