y=sin2x

Ниже подробное разбор y = sin(2x) для уровня 11 класса, цель — понять.

1. Что за функция

• y = sin(2x) означает синус аргумента 2x.
• Это периодическая тригонометрическая функция синуса, амплитуда = 1.

2. Основные свойства

• Амплитуда: 1 (максимум y = 1, минимум y = -1).
• Период: T = π. Причина: sin(2(x + π)) = sin(2x + 2π) = sin(2x).
• Нечетная функция: sin(−2x) = −sin(2x).
• Область определения: все действительные числа.
• Область значений (интервал значений): [-1, 1].

3. Корни и экстремумы

• Корни (нулевые пересечения с осью y): sin(2x) = 0 → 2x = kπ, значит x = kπ/2, где k ∈ Z.
• Максимумы: sin(2x) = 1. Тогда 2x = π/2 + 2πk → x = π/4 + πk, y = 1.
• Минимумы: sin(2x) = −1. Тогда 2x = 3π/2 + 2πk → x = 3π/4 + πk, y = −1.

4. Связь с y = sin x и график

• По форме это синус, но сжат по оси x в 2 раза по сравнению с y = sin x.
• Период снижен с 2π до π.
• График имеет те же амплитуду и форму, но частота выше: за один промежуток от 0 до π функция проходит полный цикл.

5. Полезные тождества и преобразования

• Две важные формулы:
  • sin(2x) = 2 sin x cos x (пользуется для некоторых алгебраических преобразований).
  • sin(2x) = sin(x + x) и т. д.— можно разложить через синусы и косинусы.
• Мало того, можно рассмотреть производные и интегралы:
  • Производная: dy/dx = 2 cos(2x).
  • Вторая производная: d²y/dx² = −4 sin(2x) = −4y. Это относится к уравнению y'' + 4y = 0, к которому функция является частным решением.
  • Неопределенный интеграл: ∫ sin(2x) dx = −(1/2) cos(2x) + C.

6. Примерные задачи и как решать

• Найдите y при x = 0: y = sin(0) = 0.
• Найдите y при x = π/6: y = sin(2·π/6) = sin(π/3) = √3/2.
• Найдите период: T = π.
• Найдите точки максимума и минимума в пределах [0, 2π]:
  • Максимумы: x = π/4 + πk, в рамках [0, 2π] это x = π/4, 5π/4; y = 1.
  • Минимумы: x = 3π/4 + πk, в рамках [0, 2π] это x = 3π/4, 7π/4; y = −1.
• Найдите x-interceptы в диапазоне [0, 2π]:
  • x = kπ/2, в диапазоне [0, 2π] это x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π; y = 0 на этих точках.

7. Быстрая карта для графика

• Начало в точке (0, 0).
• Первая вершина максимума в x = π/4, y = 1.
• Затем пересечение оси в x = π/2, y = 0.
• Далее минимум в x = 3π/4, y = −1.
• Повторение через период π: следующий максимум в x = π/4 + π = 5π/4.

8. Короткое резюме

• y = sin(2x) — синус с удвоенным аргументом.
• Амплитуда 1, период π.
• Корни при x = kπ/2, максимумы при x = π/4 + πk, минимумы при x = 3π/4 + πk.
• График похож на стандартный синус, но сжат в 2 раза по горизонтали.
• Производная и интеграл легко получить: y' = 2 cos(2x), ∫ sin(2x) dx = −(1/2) cos(2x) + C.
• Полезно помнить тождество sin(2x) = 2 sin x cos x для преобразований.

Если хочешь, могу привести конкретные пошаговые решения конкретной задачи с этим выражением (например, найти для заданного диапазона все корни и экстремумы или построить график).