Спрос на игрушку-хабулу, составляет q = (2000 - 100р)*а, млн штук, где р - цена за штуку, тыс. руб., а - рекламные вложения, млрд руб. Издержки его производства (не считая…

Задача максимизирует прибыль при зависимостях q = (2000 − 100r) a и выручке Revenue = r q, затратах на производство 0.05 q^2 + q и расходах на рекламу a.

Упрощаем через T = 2000 − 100r (q = T a):

• π = r q − (0.05 q^2 + q + a) = a[rT − T − 1] − 0.05 T^2 a^2.
• Приводим r через T: r = (2000 − T)/100, и задаём L(T) = (T(1900 − T))/100 − 1. Тогда π(a, T) = L(T) a − 0.05 T^2 a^2.

Для фиксированного T максимум по a достигается при a* = max(0, L/(0.1 T^2)). maximum profit при T с L>0: π*(T) = 5 L^2 / T^2. Чтобы найти максимум по T, максимально удобен H(T) = L(T)/T = (1900 − T)/100 − 1/T, и H'(T) = −1/100 + 1/T^2 = 0 даёт T = 10. Это удовлетворяет L(10) > 0 (L(10) = 188).

Следовательно:

• T* = 10, r* = (2000 − 10)/100 = 19.9 (тыс. руб./шт).
• a* = 10 L / T^2 = 10·188 / 100 = 18.8 (млрд руб.).
• q* = T a* = 10 · 18.8 = 188 (млн штук).
• Максимальная прибыль: π* = 5 L^2 / T^2 = 5 · 188^2 / 100 = 1767.2 (млрд руб.).

Ответ: 1767 (млрд руб).