Выпуклые многоугольник

Ниже подробное разбор темы "Выпуклый многоугольник" с шагами и примерами, адаптировано под 8-й класс и цель «Понять».

1. Что такое выпуклый многоугольник

• Многоугольник называется выпуклым, если любую пару точек внутри него можно соединить отрезком, который целиком лежит внутри самого многоугольника.
• Эквивалентно: все внутренние углы многоугольника строго меньше 180 градусов, или все диагонали многоугольника лежат внутри.
• Противоположность: выпуклый — это выпуклый, а невыпуклый (или впуклый) имеет хотя бы один внутренний угол больше 180 градусов или диагонали выходят за пределы фигуры.

2. Основные свойства выпуклого многоугольника

• Сумма внутренних углов: для многоугольника с n сторонами сумма углов равна (n − 2) · 180 градусов.
• Если многоугольник равнобедренный/регулярный: каждая внутренняя угольная мера равна ((n − 2) · 180) / n градусов.
• Внешний угол: сумма внешних углов всех вершин равна 360 градусов.
• Количество диагоналей: в многоугольнике с n вершинами диагоналей будет n(n − 3)/2.
• Важно: у выпуклого многоугольника диагонали всегда лежат внутри фигуры.

3. Как проверить выпуклость по координатам вершин Дан многоугольник задан координатами вершин в порядке обхода (по часовой или против часовой стрелки). Нужно проверить знак поворотов при переходах между тройками соседних вершин.

• Пусть вершины A1, A2, …, An заданы как пары координат. Для i = 1…n (индексы по модулю):
  • возьмём вектор AB = A_{i+1} − A_i и BC = A_{i+2} − A_{i+1};
  • посчитаем з-координату векторного произведения (AB × BC) = (x_AB)(y_BC) − (y_AB)(x_BC).
• Если все значения (AB × BC) имеют один и тот же знак (все положительные или все отрицательные), то многоугольник выпуклый.
• Если встречается хотя бы один знак, отличный от остальных, фигура невыпуклая (выпуклость нарушена).

4. Пример (проверяем выпуклость по координатам) Зададим пятиугольник вершинами по порядку: A(0,0), B(4,0), C(5,3), D(1,4), E(-2,2).

5. AB = B − A = (4,0); BC = C − B = (1,3); AB × BC = 4·3 − 0·1 = 12 (>0)

6. BC = (1,3); CD = D − C = (−4,1); BC × CD = 1·1 − 3·(−4) = 1 + 12 = 13 (>0)

7. CD = (−4,1); DE = E − D = (−3,−2); CD × DE = (−4)·(−2) − 1·(−3) = 8 + 3 = 11 (>0)

8. DE = (−3,−2); EA = A − E = (2,−2); DE × EA = (−3)·(−2) − (−2)·2 = 6 − (−4) = 10 (>0)

9. EA = (2,−2); AB = (4,0); EA × AB = (2)·0 − (−2)·4 = 8 (>0)

Все значения положительные, значит, этот пятиугольник выпуклый.

5. Быстрые практические формулы (для проверки понимания)

• Сумма углов любой n-угольника: (n − 2) · 180.
  • Пример: у pentagon (n = 5) сумма углов = 3 · 180 = 540 градусов.
• Число диагоналей: n(n − 3)/2.
  • Пример: у квадрилатера (n = 4) диагоналей = 4(1)/2 = 2.
• В выпуклом многоугольнике каждое внутреннее угло меньше 180°, а диагонали лежат внутри фигуры.
• Для регулярного многоугольника внутренний угол равен ((n − 2) · 180) / n.

6. Что делать, если задача не дает явных координат

• Если дано описание сторон и углов, можно проверить выпуклость по углам: все углы должны быть меньше 180 градусов.
• Если задача про количество диагоналей или сумму углов — используйте соответствующие формулы выше.

7. Что можешь прислать дальше

• Если у тебя есть конкретная задача (например, изображение или список вершин), присылай — сделаю пошаговое решение с пояснениями.
• Могу дать ещё примеры задач разной сложности на выпуклость и на вычисление углов/диагоналей.

Задача для практики (самостоятельно попробуй решить)

• Многоугольник с вершинами по порядку: A(0,0), B(3,0), C(4,2), D(1,4), E(−1,2). Определи:
  1. выпуклый ли он;
  2. сумму внутренних углов;
  3. количество диагоналей.

Если хочешь, могу сразу проверить твоё решение и показать детальное объяснение каждого шага.