Найдите стационарные точки "y=cos2x+2 cos x"

Решение задачи: найдите стационарные точки функции y = cos(2x) + 2 cos x. 1) Найдём производную и приравняем к нулю - y' = d/dx[cos(2x)] + d/dx[2 cos x] = -2 sin(2x) - 2 sin x. - Приравниваем к нулю: -2 sin(2x) - 2 sin x = 0 ⇒ sin(2x) + sin x = 0. 2) Применим тригонометрическую формулу - sin(2x) = 2 sin x cos x. Получаем: 2 sin x cos x + sin x = sin x (2 cos x + 1) = 0. 3) Решения уравнения для x С учётом произведения на ноль: - A) sin x = 0 → x = nπ, n ∈ Z. - B) 2 cos x + 1 = 0 → cos x = -1/2. Решения: x = 2π/3 + 2πk и x = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z. 4) Значения y в стационарных точках - Для x = nπ: cos x = (-1)^n, cos 2x = cos(2nπ) = 1. y = cos(2x) + 2 cos x = 1 + 2(-1)^n. Значения: - если n = 2m, x = 2mπ → y = 3; - если n = 2m+1, x = (2m+1)π → y = -1. - Для x = 2π/3 + 2πk и x = 4π/3 + 2πk: cos x = -1/2, cos 2x = cos(4π/3) = cos(8π/3) = -1/2. y = (-1/2) + 2(-1/2) = -1/2 - 1 = -3/2. 5) Тип стационарных точек (для полного понимания) - Второй производной: y'' = -4 cos(2x) - 2 cos x. - Для x = nπ: cos(2x) = 1, cos x = (-1)^n → y'' = -4 - 2(-1)^n. Это всегда отрицательно (для любого n), значит эти точки — локальные максимумы. Значения y: 3 при чётных n и -1 при нечётных n. - Для x = 2π/3 + 2πk и 4π/3 + 2πk: cos x = -1/2, cos(2x) = -1/2 → y'' = 3 > 0. Значение y = -3/2. Это локальные минимумы. Итого - Локальные максимумы: x = nπ (n ∈ Z), с y = 1 + 2(-1)^n то есть: - x = 2kπ, y = 3; - x = (2k+1)π, y = -1. - Локальные минимумы: x = 2π/3 + 2πk и x = 4π/3 + 2πk (k ∈ Z), с y = -3/2. Фиксированное резюме: стационарные точки всей функции задаются значениями x из указанных семейств, а координаты точек — либо (nπ, 1 + 2(-1)^n) (максимумы), либо (2π/3 + 2πk, -3/2) и (4π/3 + 2πk, -3/2) (минимумы). Значение периода функции — 2π.