Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM K прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK парал-лелограмм.

Задача: В параллелограмме ABCD (AB ∥ CD и BC ∥ AD) из вершин B и D проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC, причем K и M лежат на AC. Докажите, что четырёхугольник BMDK является параллелограммом. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. В параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах, поэтому O является средней точкой и AC, и BD. Пошаговое решение 1) Заметим, что BK ⟂ AC и DM ⟂ AC, следовательно BK ∥ DM (обе линии перпендикулярны AC). Это даёт одну пару противоположных сторон параллелограмма: BK ∥ DM. 2) Покажем, что O — середина отрезка KM. Это ключевой шаг: если KM имеет середину в точке O, и BD имеет середину в той же точке O, то диагонали KM и BD параллелограмма BMDK пересекаются в их серединах, что и является признаком параллелограмма. Для наглядности используем векторы. Примем A за начало координат, а вектора: - B = b, D = d, тогда C = B + D = b + d, и AC направлена вектором c = b + d. Координаты проекций B на прямую AC (то есть точка K) и D на прямую AC (то есть точка M) можно выразить как - K = t0 c, где t0 = (b·c)/(c·c), - M = s0 c, где s0 = (d·c)/(c·c). Тогда t0 + s0 = (b + d)·c / (c·c) = c·c / (c·c) = 1. Следовательно - K + M = (t0 + s0) c = c, и поэтому средняя точка KM равна (K + M)/2 = c/2 = O (поскольку O — середина AC, т.е. OA = OC = c/2). Таким образом O является серединой отрезка KM. 3) Так как O — середина BD (это свойство диагоналей параллелограмма ABCD) и O — середина KM (как показано выше), диагонали BD и KM пересекаются в своей середине. Это эквивалентно тому, что BMDK — параллелограмм. В параллелограмме диагонали по определению bisect each other (пересекаются в серединах). 4) Вспомогательная заметка: из-за BK ⟂ AC и DM ⟂ AC получаются BK ∥ DM, что даёт вторую пару параллельных сторон (KB ∥ MD) и дополнительно подтверждает параллелизм другая параллельная пара BM ∥ DK, но основная доказательная пара заключается именно в свойстве диагоналей: середины BD и KM совпадают в O. 6) Примечание по условиям AB ≠ BC и ∠A острый: эти условия позволяют говорить о том, что K и M действительно лежат на прямой AC в нужной конфигурации (а не на продолжении или в degenerate ситуации). Но сами выводы о параллелизме BMDK основаны на фактах BK ∥ DM и на тому, что O — середина KM и BD; следовательно, независимо от этих дополнительных условий, BMDK образует параллелограмм. Итог: Четырёхугольник BMDK является параллелограммом, так как его диагонали KM и BD bisect друг друга в одной и той же точке O.