|х-4|=6х-х²-8 , реши уравнение без факторизации , за 10 класс

Задача: |x − 4| = 6x − x^2 − 8. Решаем без факторизации, подойдёт для 10 класса.

1. Общий план

• Разделим по знаку выражения под модулем: x ≥ 4 и x < 4.
• В каждом случае запишем уравнение без знака модуля и приведём к квадратному уравнению.
• Решим квадратные уравнения через формулу дискриминанта (чтобы не использовать факторизацию).
• Остаточно оставим только те решения, которые удовлетворяют условиям случая.

2. Случай 1: x ≥ 4

• |x − 4| = x − 4, значит x − 4 = 6x − x^2 − 8 0 = −x^2 + 5x − 4 или x^2 − 5x + 4 = 0
• Решаем через дискриминант: D = 25 − 16 = 9, x = [5 ± √9]/2 = (5 ± 3)/2 x = 4 или x = 1
• Учёт условия: x ≥ 4 даёт только x = 4.

3. Случай 2: x < 4

• |x − 4| = 4 − x, значит 4 − x = 6x − x^2 − 8 0 = −x^2 + 7x − 12 или x^2 − 7x + 12 = 0
• Решаем через дискриминант: D = 49 − 48 = 1, x = [7 ± √1]/2 = (7 ± 1)/2 x = 4 или x = 3
• Учёт условия: x < 4 даёт только x = 3.

4. Проверка решений

• x = 3: |3 − 4| = 1, правая часть: 6·3 − 3^2 − 8 = 18 − 9 − 8 = 1. Одинаково.
• x = 4: |4 − 4| = 0, правая часть: 6·4 − 4^2 − 8 = 24 − 16 − 8 = 0. Одинаково.

5. Ответ Решением являются x = 3 и x = 4.