Площадь осевого сечения цилиндра равно 18√3 см² .Отрезок соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания образует с осью цилиндра угол 30°.Найдите площадь боковой поверхности цилиндра

Решение для задачи по Геометрии (11 класс, цель: понять) Обозначения: - Радиус цилиндра: R - Высота цилиндра: h - Центр верхнего основания: O_top - Точка на окружности нижнего основания: P - Ось цилиндра: направление вдоль оси z 1) Угол между сегментом OP и осью цилиндра Сегмент OP соединяет O_top (центр верхнего основания, лежит на оси) с точкой P на окружности нижнего основания. Вектор OP имеет компоненты (R cos θ, R sin θ, -h) относительно оси z. Угол между OP и осью задаётся через косинус: cos φ = (вектор OP)·(ось) / (|OP|·|ось|) = h / √(R^2 + h^2). Дано φ = 30°, значит: h / √(R^2 + h^2) = cos 30° = √3/2 => 4h^2 = 3(R^2 + h^2) => h^2 = 3R^2 => h = √3 · R. 2) Площадь осевого сечения (поперечного к цилиндру по оси) Осевое сечение цилиндра — это сечение плоскостью, содержащей ось цилиндра. Такое сечение имеет форму прямоугольника со сторонами: - высота равно h, - ширина равна диаметру основания 2R. Его площадь: S_осев = 2R · h. По условию S_осев = 18√3 см², следовательно: 2Rh = 18√3 => Rh = 9√3. 3) Найдём R и h Из предыдущего пункта h = √3 · R. Подставим в Rh = 9√3: R · (√3 R) = 9√3 √3 · R² = 9√3 R² = 9 => R = 3 см (положительное значение). Тогда h = √3 · R = √3 · 3 = 3√3 см. 4) Площадь боковой поверхности цилиндра Площадь боковой поверхности цилиндра (S_bок.) равна длине окружности основания на высоту: S_бок. = 2πR · h = 2π · 3 · 3√3 = 18π√3 см². Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра равна 18π√3 см².