Параллелограмм. Свойства параллелограмма. AC = 12, BD = 20, AB = 7 B C N 10 см 60° 25 2 см 40° M P A Рис. 114 Рис. 115 Рис. 116 B 5 D2 Рис. 117 3 Рис. 118 Рис. 119 Домашнее…

Задача по свойствам параллелограмма: даны AC = 12, BD = 20 и AB = 7. Нужно найти остальные параметры параллелограмма и площадь.

План решения:

1. Используем свойства параллелограмма:

• противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.
• диагонали пересекаются в середине и выполняют т.н. соотношение квадратов диагоналей: p^2 + q^2 = 2(a^2 + b^2), где a = AB, b = BC, p = AC, q = BD.

2. Найдём BC (то есть AD) через формулу выше.
3. Найдём угол между сторонами (или его синус) через разность квадратов диагоналей: p^2 - q^2 = 4ab cosθ, где θ — угол между сторонами a и b (это угол ∠DAB). Затем найдём синус θ и по нему площадь S = a·b·sinθ.

Расчёты:

• Обозначим a = AB = 7, BC = AD = b (искать).
• p = AC = 12, q = BD = 20.

1. Найдём b: p^2 + q^2 = 12^2 + 20^2 = 144 + 400 = 544. 544 = 2(a^2 + b^2) = 2(7^2 + b^2) = 2(49 + b^2) = 98 + 2b^2. 2b^2 = 544 − 98 = 446 → b^2 = 223. Следовательно b = BC = AD = √223 ≈ 14.93.

2. Найдём угол θ между сторонами AB и AD (то есть ∠DAB): p^2 − q^2 = 12^2 − 20^2 = 144 − 400 = −256. 4ab = 4·7·√223 = 28√223. cosθ = (p^2 − q^2) / (4ab) = −256 / (28√223) = −64 / (7√223) ≈ −0.612. Следовательно θ ≈ arccos(−0.612) ≈ 128°. Это угол ∠DAB; тогда ∠ABC = 180° − θ ≈ 52°.

3. Найдём синус θ и площадь: cos²θ ≈ 0.612² ≈ 0.374, значит sinθ ≈ √(1 − 0.374) ≈ √0.626 ≈ 0.79. Площадь параллелограмма S = a·b·sinθ = 7 · √223 · sinθ ≈ 7 · 14.93 · 0.79 ≈ 82.5.

Итоги:

• AB = 7, CD = 7.
• BC = AD = √223 ≈ 14.93.
• AC = 12, BD = 20 (даны).
• ∠DAB ≈ 128°, ∠ABC ≈ 52°.
• Высота к основанию AB примерно h ≈ b·sinθ ≈ 14.93 · 0.79 ≈ 11.8.
• Площадь S ≈ 82.5 квадратных единиц.

Если хотите, могу привести геометрическую иллюстрацию или решить аналогичную задачу с другими данными.