параллелограмме KLMN со сторонами MN = 4 и LM = 5 и диагональю LN = 8 диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину вектора LO - OK.
Задача: параллелограмм KLMN с MN = 4, LM = 5, LN = 8, диагонали пересекаются в O. Найдите длину вектора LO − OK (т.е. модуль вектора LO − OK).
Решение пошагово:
Найдём угол между соседними сторонами LM и MN. Диагональ LN равна сумме векторов LM и MN, поэтому LN^2 = LM^2 + MN^2 + 2·LM·MN·cos θ, где θ — угол между LM и MN. 64 = 5^2 + 4^2 + 2·5·4·cos θ 64 = 25 + 16 + 40 cos θ cos θ = (64 − 41) / 40 = 23/40.
Найдём длину другой диагонали KM. KM^2 = LM^2 + MN^2 − 2·LM·MN·cos θ KM^2 = 25 + 16 − 40·(23/40) = 41 − 23 = 18 KM = √18 = 3√2.
Определим половины диагоналей, т.к. O — их пересечение и середины: LO = LN/2 = 8/2 = 4, OK = KM/2 = (3√2)/2.
Найдём угол между диагоналями LN и KM. Пусть p = LM и q = MN. Тогда диагонали LN = p + q и KM = p − q. Угол φ между LN и KM удовлетворяет cos φ = ( (p + q) · (p − q) ) / (|p + q| · |p − q|) = (|p|^2 − |q|^2) / (LN · KM). |p| = LM = 5, |q| = MN = 4, LN = 8, KM = 3√2. cos φ = (25 − 16) / (8 · 3√2) = 9 / (24√2) = 3√2/16.
Найдём |LO − OK|. |LO − OK|^2 = LO^2 + OK^2 − 2·LO·OK·cos φ.
Числа:
- LO^2 = 4^2 = 16
- OK^2 = (3√2/2)^2 = 18/4 = 4.5
- LO·OK = 4 · (3√2/2) = 6√2
- 2·LO·OK·cos φ = 2 · (6√2) · (3√2/16) = 72/16 = 4.5
Тогда |LO − OK|^2 = 16 + 4.5 − 4.5 = 16, следовательно |LO − OK| = 4.
Ответ: 4.
