Задача: 16x^2 ≥ 81
Цель: понять решение с пояснениями.
Шаг 1. Приведение к удобной форме
16x^2 ≥ 81 можно записать как 16x^2 - 81 ≥ 0.
Шаг 2. Разложение на произведение (метод разности квадратов)
16x^2 - 81 = (4x)^2 - 9^2 = (4x - 9)(4x + 9).
Значит неравенство эквивалентно (4x - 9)(4x + 9) ≥ 0.
Шаг 3. Найдем корни и определим знаки
Корни: 4x - 9 = 0 → x = 9/4; 4x + 9 = 0 → x = -9/4.
Разделим числовую ось на три интервала:
- (-∞, -9/4],
- [-9/4, 9/4],
- [9/4, ∞).
Проверяем знак произведения на каждом интервале:
- x < -9/4: например x = -3 → (4x - 9) < 0 и (4x + 9) < 0, их произведение > 0.
- -9/4 < x < 9/4: например x = 0 → (4x - 9) < 0 и (4x + 9) > 0, их произведение < 0.
- x > 9/4: например x = 3 → (4x - 9) > 0 и (4x + 9) > 0, их произведение > 0.
Так что неравенство ≥ 0 выполняется на интервалах:
(-∞, -9/4] и [9/4, ∞).
Шаг 4. Альтернативный способ (через модуль)
Из 16x^2 ≥ 81 можно привести к x^2 ≥ 81/16.
Из этого следует |x| ≥ 9/4, то есть x ≤ -9/4 или x ≥ 9/4.
Ответ
x ∈ (-∞, -9/4] ∪ [9/4, ∞).
Проверка примерами:
- x = 3: 16·9 = 144 ≥ 81 — правда.
- x = 0: 0 ≥ 81 — неверно.
- x = -3: 16·9 = 144 ≥ 81 — правда.
Дополнительно можно заметить: границы -9/4 и 9/4 входят в решение, потому что при них 16x^2 = 81.
