Решить систему методом гаусса 2х у-z=0; х-у-3z=13; 3х-2у 4z=-15 чтобы везде были целые числа

Задача: решить систему методом Гаусса 2x − y − z = 0 x − y − 3z = 13 3x − 2y + 4z = −15 Цель — детально разобрать пошагово. 1) Запишем расширенную матрицу системы: [ 2 −1 −1 | 0 ] [ 1 −1 −3 | 13 ] [ 3 −2 4 | −15 ] 2) Меняем местами первую и вторую строки, чтобы получить ведущий 1 в первой строке: [ 1 −1 −3 | 13 ] [ 2 −1 −1 | 0 ] [ 3 −2 4 | −15 ] 3) Приведем к нулю элементы в первом столбце ниже ведущего 1: R2 <- R2 − 2·R1: [0, 1, 5 | −26] R3 <- R3 − 3·R1: [0, 1, 13 | −54] Теперь матрица: [ 1 −1 −3 | 13 ] [ 0 1 5 | −26 ] [ 0 1 13 | −54 ] 4) Удалим повторяющийся элемент в позиции (3,2): R3 <- R3 − R2: [0, 0, 8 | −28] Матрица стала [ 1 −1 −3 | 13 ] [ 0 1 5 | −26 ] [ 0 0 8 | −28 ] 5) Из последней строки найти z: 8z = −28 → z = −28/8 = −7/2 6) Подставим z в вторую строку (y + 5z = −26): y = −26 − 5z = −26 − 5·(−7/2) = −26 + 35/2 = (−52 + 35)/2 = −17/2 7) Подставим y и z в первую строку (x − y − 3z = 13): x = 13 + y + 3z = 13 + (−17/2) + 3·(−7/2) = 13 − 17/2 − 21/2 = 13 − 38/2 = 13 − 19 = −6 Итак, решение: x = −6, y = −17/2, z = −7/2 Проверка: - 2x − y − z = 2(−6) − (−17/2) − (−7/2) = −12 + 17/2 + 7/2 = −12 + 24/2 = 0 - x − y − 3z = −6 − (−17/2) − 3(−7/2) = −6 + 17/2 + 21/2 = −6 + 38/2 = 13 - 3x − 2y + 4z = 3(−6) − 2(−17/2) + 4(−7/2) = −18 + 17 − 14 = −15 Все верно. Обратите внимание на требование “чтобы везде были целые числа”: Здесь система имеет единственное рациональное решение, но оно не состоит полностью из целых чисел: x −6 целое, а y = −17/2 и z = −7/2 – дроби. Можно заметить, что если бы все переменные должны были быть целыми, решение не существует для данной системы. Это можно увидеть, например, из парадоксального противоречения: - из подстановки из первой и второй строк после Gauss-отбросок получаем y = (5x + 13)/2, т.е. для целого y требуется x иметь неодинаковую парность; из третей строки вытекает x = −6, что противоречит требованию целостности y и z. Поэтому целочисленного решения нет.