Решить систему методом гаусса 2х у-z=0; х-у-3z=13; 3х-2у 4z=-15 целыми числами

Задача: решить систему методом Гаусса (принимаю знаки и операторы между переменными так, чтобы получить корректные уравнения) - 2x + y − z = 0 - x − y − 3z = 13 - 3x − 2y + 4z = −15 Цель: понять и получить решение с пошаговыми пояснениями. 1) Запишем коэффициентическую матрицу и аугментированную матрицу Коэффициенты: [ 2 1 -1 | 0 ] [ 1 -1 -3 | 13 ] [ 3 -2 4 | -15 ] 2) Приведём к удобной форме для исключения переменных. Пусть первая ступень будет с ведущим коэффициентом 1. Поменяем местами строки так, чтобы в первой строке стоял коэффициент 1 (R2 и R1 поменяли местами): Row1: [1 -1 -3 | 13] Row2: [2 1 -1 | 0] Row3: [3 -2 4 | -15] Дальше устраняем x в Row2 и Row3: - Row2 := Row2 − 2·Row1 [2−2·1, 1 − 2(−1), −1 − 2(−3) | 0 − 2·13] = [0, 3, 5 | −26] - Row3 := Row3 − 3·Row1 [3−3·1, −2 − 3(−1), 4 − 3(−3) | −15 − 3·13] = [0, 1, 13 | −54] Матрица стала: Row1: [1 −1 −3 | 13] Row2: [0 3 5 | −26] Row3: [0 1 13 | −54] 3) Приведём к верхнетреугольному виду. Обменяем Row2 и Row3, чтобы вторая строка имела меньший ведущий элемент (1): Row1: [1 −1 −3 | 13] Row2: [0 1 13 | −54] Row3: [0 3 5 | −26] Далее устраняем y из Row3 и подчищаем Row1: - Row3 := Row3 − 3·Row2 [0, 3−3·1, 5 − 3·13 | −26 − 3(−54)] = [0, 0, −34 | 136] - Row1 := Row1 + Row2 [1, −1+1, −3+13 | 13−54] = [1, 0, 10 | −41] Теперь получаем верхнетреугольную форму: Row1: [1 0 10 | −41] Row2: [0 1 13 | −54] Row3: [0 0 −34 | 136] 4) Обратная подстановка - Из Row3: −34 z = 136 → z = 136 / (−34) = −4 - Из Row2: y + 13z = −54 → y + 13(−4) = −54 → y − 52 = −54 → y = −2 - Из Row1: x + 10z = −41 → x + 10(−4) = −41 → x − 40 = −41 → x = −1 Итого: x = −1, y = −2, z = −4 5) Проверка - 2x + y − z = 2(−1) + (−2) − (−4) = −2 − 2 + 4 = 0 ✓ - x − y − 3z = (−1) − (−2) − 3(−4) = −1 + 2 + 12 = 13 ✓ - 3x − 2y + 4z = 3(−1) − 2(−2) + 4(−4) = −3 + 4 − 16 = −15 ✓ Ответ: x = −1, y = −2, z = −4. Это целочисленное решение, и оно единственно для данной системы.