решить систему методом гаусса 2х у-z=0; х-у-3z=13; 3х-2у 4z=-15 целыми числами
Задача: решить систему методом Гаусса (принимаю знаки и операторы между переменными так, чтобы получить корректные уравнения)
- 2x + y − z = 0
- x − y − 3z = 13
- 3x − 2y + 4z = −15
Цель: понять и получить решение с пошаговыми пояснениями.
Запишем коэффициентическую матрицу и аугментированную матрицу Коэффициенты: [ 2 1 -1 | 0 ] [ 1 -1 -3 | 13 ] [ 3 -2 4 | -15 ]
Приведём к удобной форме для исключения переменных. Пусть первая ступень будет с ведущим коэффициентом 1. Поменяем местами строки так, чтобы в первой строке стоял коэффициент 1 (R2 и R1 поменяли местами):
Row1: [1 -1 -3 | 13] Row2: [2 1 -1 | 0] Row3: [3 -2 4 | -15]
Дальше устраняем x в Row2 и Row3:
Row2 := Row2 − 2·Row1 [2−2·1, 1 − 2(−1), −1 − 2(−3) | 0 − 2·13] = [0, 3, 5 | −26]
Row3 := Row3 − 3·Row1 [3−3·1, −2 − 3(−1), 4 − 3(−3) | −15 − 3·13] = [0, 1, 13 | −54]
Матрица стала: Row1: [1 −1 −3 | 13] Row2: [0 3 5 | −26] Row3: [0 1 13 | −54]
- Приведём к верхнетреугольному виду. Обменяем Row2 и Row3, чтобы вторая строка имела меньший ведущий элемент (1):
Row1: [1 −1 −3 | 13] Row2: [0 1 13 | −54] Row3: [0 3 5 | −26]
Далее устраняем y из Row3 и подчищаем Row1:
Row3 := Row3 − 3·Row2 [0, 3−3·1, 5 − 3·13 | −26 − 3(−54)] = [0, 0, −34 | 136]
Row1 := Row1 + Row2 [1, −1+1, −3+13 | 13−54] = [1, 0, 10 | −41]
Теперь получаем верхнетреугольную форму: Row1: [1 0 10 | −41] Row2: [0 1 13 | −54] Row3: [0 0 −34 | 136]
- Обратная подстановка
- Из Row3: −34 z = 136 → z = 136 / (−34) = −4
- Из Row2: y + 13z = −54 → y + 13(−4) = −54 → y − 52 = −54 → y = −2
- Из Row1: x + 10z = −41 → x + 10(−4) = −41 → x − 40 = −41 → x = −1
Итого: x = −1, y = −2, z = −4
- Проверка
- 2x + y − z = 2(−1) + (−2) − (−4) = −2 − 2 + 4 = 0 ✓
- x − y − 3z = (−1) − (−2) − 3(−4) = −1 + 2 + 12 = 13 ✓
- 3x − 2y + 4z = 3(−1) − 2(−2) + 4(−4) = −3 + 4 − 16 = −15 ✓
Ответ: x = −1, y = −2, z = −4. Это целочисленное решение, и оно единственно для данной системы.
