3 прямые попарно пересекаются, докажите, что они либо лежат в 1 плоскости, либо имеют общую точку.

Задача говорит: три прямые в пространстве попарно пересекаются. Нужно доказать, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку (конкурентны).

Обозначим прямые как l1, l2, l3. По условию:

• A = l1 ∩ l2 (точка пересечения l1 и l2),
• B = l2 ∩ l3 (точка пересечения l2 и l3),
• C = l3 ∩ l1 (точка пересечения l3 и l1).

Доказательство по шагам:

1. Так как l1 и l2 пересекаются, существует единственная плоскость π, содержащая обе прямые. Поэтому l1 ⊂ π и l2 ⊂ π.

2. Точки B и C лежат на l2 и l1 соответственно. Значит:

   • B ∈ l2 ⊂ π,
   • C ∈ l1 ⊂ π. Следовательно, B и C лежат в плоскости π.

3. Прямая l3 проходит через точки B и C, поэтому l3 — это прямая, которая соединяет B и C. Так как обе точки B и C лежат в плоскости π, вся прямая l3 тоже лежит в π. Значит, l1, l2 и l3 принадлежат одной плоскости π, т.е. они являются coplanar.

4. Различие случаев:

   • Если B ≠ C, то l3 действительно является линией BC в плоскости π, и все три прямые лежат в одной плоскости (ситуация: три линии в одной плоскости, попарно пересекаются).
   • Если B = C (то есть l2 ∩ l3 = l3 ∩ l1 = A), то все три прямые пересекаются в одной точке A. Тогда три прямые имеют общую точку (конкурентны).

Итак, из условия попарного пересечения следует либо что все три прямые лежат в одной плоскости, либо что они все проходят через одну общую точку.