log27(x³-9x²+27x-27)≥log3(x²-9)-4
Решение по шагам
Преобразуем левый множитель: x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x - 3)^3. Значит аргумент логарифма слева равен (x - 3)^3.
Определим область допустимых значений (домены логарифмов):
- для log_27((x-3)^3) требуется (x-3)^3 > 0, то есть x > 3;
- для log_3(x^2 - 9) требуется x^2 - 9 > 0, то есть x > 3 или x < -3.
Пересечение условий даёт домен задачи: x > 3.
- Упростим выражения:
- log_27((x-3)^3) = log_3((x-3)^3) / log_3(27) = [3 log_3(x-3)] / 3 = log_3(x-3).
- Правую часть можно переписать через логарифм: log_3(x^2 - 9) - 4 = log_3(x^2 - 9) - log_3(81) = log_3((x^2 - 9)/81).
И inequality становится: log_3(x - 3) ≥ log_3((x^2 - 9)/81).
Так как основание логарифма больше 1 и функция логарифма возрастает, неравенство логарифмов эквивалентно неравенству аргументов: x - 3 ≥ (x^2 - 9) / 81.
- Решим получившееся неравенство: 81(x - 3) ≥ x^2 - 9 81x - 243 ≥ x^2 - 9 0 ≥ x^2 - 81x + 234 x^2 - 81x + 234 ≤ 0.
Квадратичное неравенство имеет корни: D = 81^2 - 4·1·234 = 6561 - 936 = 5625, sqrt(D) = 75. x = (81 ± 75) / 2 => x = 3 или x = 78.
Итак, x лежит в интервале [3, 78]. Но из пункта 2 мы работаем только на домене x > 3. Следовательно:
Итоговое решение: x ∈ (3, 78].
Проверка на примере: x = 4 → LHS log_27((1)^3) = log_27(1) = 0; RHS log_3(16-9) - 4 = log_3(7) - 4 ≈ 1.77 - 4 ≈ -2.23; 0 ≥ -2.23 верно.
