в параллелограмме MNPQ приведён перпендекуляр NH к прямой MQ причем точка H лежит на стороне MQ. найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MN=3см, HQ=5см, угол…

Задача по геометрии: параллелограмм MNPQ, H лежит на стороне MQ, NH ⟂ MQ. Известно MN = 3 см, HQ = 5 см, угол MNH = 30°. Найдем стороны и углы параллелограмма.

Пошаговое решение

1. Найдём угол ∠NMQ (угол при вершине M между MN и MQ).

• NH ⟂ MQ, значит NH перпендикулярна MQ.
• ∠MNH дан как 30°. В треугольнике NMH угол между MN и NH равен 30°, а NH ⟂ MQ, следовательно угол между MN и MQ (то есть ∠NMQ) равен 90° − 30° = 60°.

Значит угол при вершине M параллелограмма равен ∠M = ∠NMQ = 60°. Соответственно соседний угол ∠N = 180° − 60° = 120°, а далее ∠P = 60°, ∠Q = 120°.

2. Рассмотрим треугольник NMH. Он прямоугольный (NH ⟂ MQ) и угол при M равен 60°, следовательно угол при N равен 30°. Гипотенуза этого треугольника — NM = 3 см.

Это 30–60–90 треугольник, где отношение сторон таково:

• гипотенуза = 2x
• короткий катет (против 30°) = x
• длинный катет (против 60°) = x√3

Так как NM = 3 = 2x, получаем x = 1.5. Значит:

• MH (против 30°) = x = 1.5 см
• NH (против 60°) = x√3 = 1.5√3 см

3. Длина стороны MQ. MQ = MH + HQ = 1.5 + 5 = 6.5 см.

4. Найдём остальные стороны параллелограммы.

• NP параллелен MQ и равен по длине MQ: NP = 6.5 см.
• PQ параллелена MN и равна MN: PQ = 3 см.

5. Ответ.

• Стороны: MN = 3 см, NP = 6.5 см, PQ = 3 см, MQ = 6.5 см.
• Углы: ∠M = 60°, ∠N = 120°, ∠P = 60°, ∠Q = 120°.
• Дополнительно: высота NH к основанию MQ равна NH = 1.5√3 см ≈ 2.598 см, что подтверждает площадь параллелограмма: площадь = MQ × NH = 6.5 × 1.5√3.

Если нужно, могу привести ещё графическое пояснение или проверить площадь двумя способами.