докажите, что в равнобндренной трапеции : а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны
Задача: доказать, что в равнобедренной трапеции ABCD (AB ∥ CD, AD = BC) выполняются: а) углы при каждом основании равны: ∠A = ∠B и ∠D = ∠C; б) диагонали равны: AC = BD.
Замечание: здесь под "углами при основании" понимаются пары углов у конца основания AB (∠A и ∠B) и у конца основания CD (∠D и ∠C).
Предположения: AB ∥ CD и AD = BC. Чтобы решить задачу на понятном уровне 8 класса, удобнее воспользоваться координатами и/или симметрией.
Способ 1. Координатный подход (пошагово)
- Разместим трапецию так, чтобы bases AB и CD были горизонтальными и симметричными относительно оси Oy:
- A = (−a, 0), B = (a, 0) — вершины основания AB;
- D = (−d, h), C = (d, h) — вершины основания CD; где a > 0, d > 0, h > 0.
Такое расположение не ограничивает общность: любую равнобедренную трапецию можно привести к такой форме делением по вертикальной оси симметрии.
- Проверим условие AD = BC в такой конфигурации.
- AD — от A до D: D − A = (−d − (−a), h − 0) = (a − d, h);
- BC — от B до C: C − B = (d − a, h).
Длины: |AD| = sqrt((a − d)^2 + h^2), |BC| = sqrt((d − a)^2 + h^2) = sqrt((a − d)^2 + h^2).
Следовательно, |AD| = |BC| выполняется автоматически в этой конфигурации, что соответствует условию равнобедренности.
- Углы при основании AB: найдём косинусы углов ∠A и ∠B.
- Вектор AB = B − A = (2a, 0);
- Вектор AD = D − A = (a − d, h).
Косинус угла ∠A: cos ∠A = (AB · AD) / (|AB| |AD|) = [(2a)(a − d) + 0·h] / [ (2a) sqrt((a − d)^2 + h^2) ] = (a − d) / sqrt((a − d)^2 + h^2).
- Вектор BA = A − B = (−2a, 0);
- Вектор BC = C − B = (d − a, h).
Косинус угла ∠B: cos ∠B = (BA · BC) / (|BA| |BC|) = [(−2a)(d − a) + 0·h] / [ (2a) sqrt((d − a)^2 + h^2) ] = (a − d) / sqrt((a − d)^2 + h^2).
Получили одинаковые значения косинусов, значит ∠A = ∠B.
Углы у основания CD: аналитически они будут равны по той же симметрии (поскольку фигура симметрична относительно оси Oy). Можно заметить, что по той же причине cos ∠D = cos ∠C, следовательно ∠D = ∠C.
Диагонали AC и BD:
AC — от A до C: A(−a,0) до C(d,h): длина |AC| = sqrt((d − (−a))^2 + (h − 0)^2) = sqrt((d + a)^2 + h^2).
BD — от B до D: B(a,0) до D(−d,h): длина |BD| = sqrt((−d − a)^2 + (h − 0)^2) = sqrt((d + a)^2 + h^2).
Получается |AC| = |BD|.
Итак, в равнобедренной трапеции выполняются:
- ∠A = ∠B и ∠D = ∠C;
- AC = BD.
Способ 2. Смысловая (симметричная) аргументация (для понимания)
Поскольку AB ∥ CD и AD = BC, трапеция имеет ось симметрии, перпендикулярную основаниям и проходящую через середины обоих оснований. Подобно отражению в этой оси, левый край трапеции зеркально переходит в правый: A ↔ B, D ↔ C.
Отсюда углы при основании AB зеркально совпадают, то есть ∠A = ∠B, а аналогично ∠D = ∠C.
Диагонали AC и BD тоже зеркально отображаются друг в друга, значит они равны: AC = BD.
Заключение: В равнобедренной трапеции AB ∥ CD и AD = BC выполняются: а) парa base углов равны: ∠A = ∠B и ∠D = ∠C; б) диагонали равны: AC = BD.
Если нужно, могу привести ещё более краткую версию доказательства без координат или нарисовать пошаговую схему.
