Докажите, что в равнобндренной трапеции : а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны

Задача: доказать, что в равнобедренной трапеции ABCD (AB ∥ CD, AD = BC) выполняются: а) углы при каждом основании равны: ∠A = ∠B и ∠D = ∠C; б) диагонали равны: AC = BD. Замечание: здесь под "углами при основании" понимаются пары углов у конца основания AB (∠A и ∠B) и у конца основания CD (∠D и ∠C). Предположения: AB ∥ CD и AD = BC. Чтобы решить задачу на понятном уровне 8 класса, удобнее воспользоваться координатами и/или симметрией. Способ 1. Координатный подход (пошагово) 1) Разместим трапецию так, чтобы bases AB и CD были горизонтальными и симметричными относительно оси Oy: - A = (−a, 0), B = (a, 0) — вершины основания AB; - D = (−d, h), C = (d, h) — вершины основания CD; где a > 0, d > 0, h > 0. Такое расположение не ограничивает общность: любую равнобедренную трапецию можно привести к такой форме делением по вертикальной оси симметрии. 2) Проверим условие AD = BC в такой конфигурации. - AD — от A до D: D − A = (−d − (−a), h − 0) = (a − d, h); - BC — от B до C: C − B = (d − a, h). Длины: |AD| = sqrt((a − d)^2 + h^2), |BC| = sqrt((d − a)^2 + h^2) = sqrt((a − d)^2 + h^2). Следовательно, |AD| = |BC| выполняется автоматически в этой конфигурации, что соответствует условию равнобедренности. 3) Углы при основании AB: найдём косинусы углов ∠A и ∠B. - Вектор AB = B − A = (2a, 0); - Вектор AD = D − A = (a − d, h). Косинус угла ∠A: cos ∠A = (AB · AD) / (|AB| |AD|) = [(2a)(a − d) + 0·h] / [ (2a) sqrt((a − d)^2 + h^2) ] = (a − d) / sqrt((a − d)^2 + h^2). - Вектор BA = A − B = (−2a, 0); - Вектор BC = C − B = (d − a, h). Косинус угла ∠B: cos ∠B = (BA · BC) / (|BA| |BC|) = [(−2a)(d − a) + 0·h] / [ (2a) sqrt((d − a)^2 + h^2) ] = (a − d) / sqrt((a − d)^2 + h^2). Получили одинаковые значения косинусов, значит ∠A = ∠B. 4) Углы у основания CD: аналитически они будут равны по той же симметрии (поскольку фигура симметрична относительно оси Oy). Можно заметить, что по той же причине cos ∠D = cos ∠C, следовательно ∠D = ∠C. 5) Диагонали AC и BD: - AC — от A до C: A(−a,0) до C(d,h): длина |AC| = sqrt((d − (−a))^2 + (h − 0)^2) = sqrt((d + a)^2 + h^2). - BD — от B до D: B(a,0) до D(−d,h): длина |BD| = sqrt((−d − a)^2 + (h − 0)^2) = sqrt((d + a)^2 + h^2). Получается |AC| = |BD|. Итак, в равнобедренной трапеции выполняются: - ∠A = ∠B и ∠D = ∠C; - AC = BD. Способ 2. Смысловая (симметричная) аргументация (для понимания) - Поскольку AB ∥ CD и AD = BC, трапеция имеет ось симметрии, перпендикулярную основаниям и проходящую через середины обоих оснований. Подобно отражению в этой оси, левый край трапеции зеркально переходит в правый: A ↔ B, D ↔ C. - Отсюда углы при основании AB зеркально совпадают, то есть ∠A = ∠B, а аналогично ∠D = ∠C. - Диагонали AC и BD тоже зеркально отображаются друг в друга, значит они равны: AC = BD. Заключение: В равнобедренной трапеции AB ∥ CD и AD = BC выполняются: а) парa base углов равны: ∠A = ∠B и ∠D = ∠C; б) диагонали равны: AC = BD. Если нужно, могу привести ещё более краткую версию доказательства без координат или нарисовать пошаговую схему.