Реши

Ниже приведены подробные решения по заданиям 45–48 из изображения. Я опишу шаги так, чтобы можно было выполнить на бумаге обычным школьным инструментом (линейкой, транспортиром, карандашом).

Задание 45

• Требование: начертить три неразвернутых угла и один развёрнутый угол и обозначить их так: ∠AOB, ∠CDE, ∠IHK и ∠MNP.
• Как выполнить:
  1. Выберите четыре вершины и соответствующие пары лучей:
     • Вершина O: лучи OA и OB образуют первый неразвернутый угол ∠AOB.
     • Вершина D: лучи DC и DE образуют второй неразвернутый угол ∠CDE.
     • Вершина H: лучи HI и HK образуют третий неразвернутый угол ∠IHK.
     • Вершина N: лучи NM и NP образуют развёрнутый угол ∠MNP.
  2. Примерные значения для точности (можно выбрать любые значения в диапазоне 0°–180° для неразвернутых и выбрать развёрнутый угол позже):
     • ∠AOB = 40°
     • ∠CDE = 60°
     • ∠IHK = 120°
     • ∠MNP (развёрнутый) = 360° − 60° = 300° (то есть меньший угол ∠MNP = 60°, а развёрнутый — 300°).
  3. Как сделать развёрнутый угол: нарисуйте два луча NM и NP так, чтобы они образовали меньший угол α (например, 60°). Развёрнутый угол будет равен 360° − α (здесь 300°). Обозначьте ∠MNP как развёрнутый согласно условию.
  4. Советы: используйте транспортир для точности углов; подпишите вершины и лучи, чтобы читалось как в условии.

Задание 46

• Требование: начертите луч OA и с помощью транспортира отложите от луча OA углы ∠AOB, ∠AOC и ∠AOD так, чтобы ∠AOB = 23°, ∠AOC = 67°, ∠AOD = 138°.
• Как выполнить:
  1. Проведите луч OA.
  2. Отложите с помощью транспортира три угла от той же вершины O, где OA — одна из сторон каждого угла:
     • OB лежит так, чтобы ∠AOB = 23°.
     • OC лежит так, чтобы ∠AOC = 67°.
     • OD лежит так, чтобы ∠AOD = 138°.
  3. Пример ориентации (если OA направлена вправо вдоль горизонтали):
     • OB под углом 23° к OA (сигнал вверх/вверх-право).
     • OC под 67° к OA.
     • OD под 138° к OA.
  4. Каждый из полученных лучей соответственно образует угол с OA указанной величины.

Задание 47

• Требование: начертите угол, равный 70°, и с помощью транспортира проведите его биссектрису.
• Как выполнить:
  1. Нарисуйте любой угол ∠XOY, измерив его с помощью транспортира и убедитесь, что его мера равна 70°.
  2. Постройте биссектор этого угла с использованием транспортира:
     • Вершина O.
     • Совместите одну сторону угла с нулевой линией транспортира.
     • Отметьте точку внутри угла на расстоянии любого выбранного радиуса от вершины по внутренней стороне угла и соедините её с O.
     • Прямая OM, которая идёт через вершину O и указанную точку, будет биссектрисой ∠XOY, то есть ∠XOM = ∠MOY = 35°.
  3. Альтернативный способ (по желанию): можно использовать циркуль и построение биссектора через равные отрезки на лучах, но задание просит про биссектор с помощью транспортира.

Задание 48

• Требование: начертите угол ∠AOB и с помощью транспортира проведите луч OC так, чтобы луч OA являлся биссектрисой угла ∠BOC. Всегда ли это выполнимо?
• Что нужно показать:
  1. Пусть ∠BOA = α (угол между OB и OA; помните, что ∠AOB равен тому же по мере, как и ∠BOA). Чтобы OA была биссектрисой ∠BOC, то есть ∠BOA = ∠AOC.
  2. Строим OC так, чтобы угол между OA и OC был равен α. Это достигается симметричным поворотом OB относительно OA: OC должен быть на таком же расстоянии от OA, как OB, но по другую сторону OA.
  3. Как получить на практике:
     • Постройте изначальный угол ∠AOB от выбранной точки O.
     • Измерьте величину α = ∠AOB (например, 40°).
     • На другой стороне OA отложите угол α от OA к OC: поместите транспортир так, чтобы нуль-линию совместить с OA, и отметьте точку на стороне, противоположной OB, на угол α от OA. Соедините O с этой точкой — получится ray OC.
     • Варианты: существует два возможных варианта OC (симметрично OB относительно OA), поэтому можно получить два решения.
  4. Ответ на вопрос: да, это обычно выполнимо. OA может быть биссектором ∠BOC, если OC выбрано как зеркальное отражение OB относительно OA; существуют два возможных положения OC (один слева от OA, другой — справа). Исключения: degenerate случаи, когда ∠AOB = 0° или 180° (тогда биссектор может быть не определён или привести к вырожденным случаям).

Краткое резюме

• 45: нарисуйте три неразвернутых угла и один развёрнутый (указать значения: например 40°, 60°, 120° для неразвёрнутых и 300° для развёрнутого).
• 46: OA — базовый луч; OB, OC, OD на заданные углы относительно OA (23°, 67°, 138°).
• 47: сначала угол 70°, затем его биссектор с помощью транспортира (35° от одной стороны к другой).
• 48: OA может быть биссекторной для ∠BOC; OC выбирается как зеркальное отражение OB относительно OA; существует два возможных OC (кромеdegenerate случаев).