Давай решим это уравнение вместе. Сначала упростим уравнение:
[ 4 \sin^2 x = 3 ]
Делим обе части на 4:
[ \sin^2 x = \frac{3}{4} ]
Теперь извлекаем корень:
[ \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Значения синуса равные ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) в первом и втором квадранте, это углы ( \frac{\pi}{3} ) и ( \frac{2\pi}{3} ). Для отрицательного значения синуса углы в третьем и четвертом квадрантах будут ( \pi + \frac{\pi}{3} ) и ( 2\pi - \frac{\pi}{3} ), соответственно.
Так как синус периодичен с периодом ( 2\pi ), общее решение для углов будет включать ( +2\pi n ), где ( n ) - любое целое число.
Итак, решениями уравнения будут:
[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = 2\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]
Мы видим, что первые два решения можно представить в виде ( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n ), а вторые два в виде ( x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n ) (используя то, что ( \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} ))
Таким образом, те же самые решения можно записать еще и как:
[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n ]
Заметим, что если мы в качестве n подставим нечетные числа в первое уравнение, и четные числа во второе уравнение, то сможем получить все решения из первой группы, а если в первое уравнение подставим четные числа, а во второе нечетные, то получим все решения из второй группы.
Так, можно записать общее решение уравнения как:
[ x = (-1)^n\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]
Отмечая, что здесь n в обоих случаях пробегает всё множество целых чисел.
Исходя из этого, верный вариант ответа:
[ x = (-1)^n\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} ]
