выбери верный вариант

Давай решим это уравнение вместе. Сначала упростим уравнение: \[ 4 \sin^2 x = 3 \] Делим обе части на 4: \[ \sin^2 x = \frac{3}{4} \] Теперь извлекаем корень: \[ \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] Значения синуса равные \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) в первом и втором квадранте, это углы \( \frac{\pi}{3} \) и \( \frac{2\pi}{3} \). Для отрицательного значения синуса углы в третьем и четвертом квадрантах будут \( \pi + \frac{\pi}{3} \) и \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \), соответственно. Так как синус периодичен с периодом \( 2\pi \), общее решение для углов будет включать \( +2\pi n \), где \( n \) - любое целое число. Итак, решениями уравнения будут: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = 2\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Мы видим, что первые два решения можно представить в виде \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), а вторые два в виде \( x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \) (используя то, что \( \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \)) Таким образом, те же самые решения можно записать еще и как: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \] Заметим, что если мы в качестве n подставим нечетные числа в первое уравнение, и четные числа во второе уравнение, то сможем получить все решения из первой группы, а если в первое уравнение подставим четные числа, а во второе нечетные, то получим все решения из второй группы. Так, можно записать общее решение уравнения как: \[ x = (-1)^n\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Отмечая, что здесь n в обоих случаях пробегает всё множество целых чисел. Исходя из этого, верный вариант ответа: \[ x = (-1)^n\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]