Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими

Да, это верное свойство: на одной прямой для любых трёх разных точек одна из них лежит между двумя другими. Ниже детальное решение и объяснение для 7 класса геометрии. Цель: понять и увидеть доказательство пошагово. 1) Вводные определения - Точка B лежит между A и C, если A, B, C лежат на одной прямой и AB + BC = AC. То есть путём от A к C через B мы проходим без отклонений за расстояние AC. - Расположение точек на прямой можно упорядочить по их координатам: слева направо фиксируем три точки. 2) Основное утверждение У любых трёх различных точек A, B, C на одной прямой одна из них является между двумя другими и, следовательно, существуют такие имена точек, что одна из них лежит между двумя оставшимися. 3) Доказательство (аналитический/координатный подход) - Пусть A, B, C — три разные точки на одной прямой. - Разместим линию так, чтобы у каждой точки был числовой координат на оси: пусть их координаты будут a, b, c. - Так как точки разные, три числа a, b, c различны. Отсортируем их по возрастанию: x1 < x2 < x3, где {x1, x2, x3} = {a, b, c}. - Точка с координатой x2 расположена между точками с координатами x1 и x3. Это означает: расстояния satisfy x1x2 + x2x3 = x1x3. - Перепишем в геометрической формулировке: точка с координатой x2 лежит между двумя точками x1 и x3. Следовательно, одна из трёх точек (та, что имеет среднюю координату) лежит между двумя другими. 4) Примеры (для наглядности) - Пусть A(2), B(5), C(9) на одной прямой. Упорядочиваем: 2, 5, 9. Точка B с координатой 5 лежит между A и C. AB = 3, BC = 4, AC = 7, и AB + BC = AC. - Пусть A(−4), B(2), C(7). Порядок: −4, 2, 7. Точка B лежит между A и C. AB = 6, BC = 5, AC = 11, и AB + BC = AC. 5) Уникальность (почему только одна) - Если B лежит между A и C, то AB + BC = AC. - Предположим, что другая точка, скажем A, тоже лежит между B и C. Тогда бы выполнялись AB + AC = BC. - Эти два равенства в реальности противоречат друг другу, если все три точки разные (они приводят к AB = 0 или AB = BC = 0, что невозможно для трёх разных точек). - Поэтому не может быть, чтобы более одной точки одновременно лежала между двумя остальными. Следовательно, ровно одна точка лежит между двумя другими. 6) Вывод - Из любых трёх разных точек на одной прямой одна и только одна точка лежит между двумя другими. - Эта середина также удовлетворяет свойству: если M — середина тройки, то AM + MC = AC, где A и C — крайние точки. Если хотите, могу привести ещё одно решение без координатного подхода, только на основе определения между и свойств расстояний на прямой.