Доказать теорему серединного перпендикуляра

Вот подробное доказательство теоремы серединного перпендикуляра (лока́ус точек, равноудалённых от концов отрезка A и B). Формулировка. Для любого отрезка AB пусть M — его середина (AM = MB и A, M, B лежат на одной прямой). Тогда: - Любая точка P, лежащая на перпендикуляре к AB, проходящем через M, удовлетворяет PA = PB. - Любая точка P, для которой PA = PB, лежит на этом перпендикуляре к AB через M. То есть прямая, проходящая через середину M и перпендикулярная AB, есть и единственная линия, состоящая из всех точек, равноудалённых от A и B. Доказательство 1. Пусть P лежит на серединном перпендикуляре AB (то есть PM ⟂ AB и P принадлежит прямой через M, перпендикулярной AB). 1) Рассмотрим треугольники PAM и PBM. 2) Из данных: AM = MB (M — середина AB), PM общее ребро в обоих треугольниках, и ∠PMA = ∠PMB = 90° (PM ⟂ AB). 3) По признаку SAS эти два треугольника равны: PAM ≅ PBM. 4) Следовательно PA = PB. 5) Значит любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от A и B. Это доказывает одну часть теоремы. Доказательство 2. Пусть PA = PB. Докажем, что P лежит на серединном перпендикуляре AB. 1) Снова возьмём треугольники PAM и PBM. 2) Условия: PA = PB (дано), AM = MB (M — середина AB), PM общо в обоих треугольниках. 3) По признаку SSS (три стороны равны) треугольники PAM и PBM равны: PAM ≅ PBM. 4) Следовательно ∠PMA = ∠PMB. 5) Так как AM и MB лежат на одной прямой AB и образуют в сумме прямой угол: ∠AMB = 180°, то углы ∠PMA и ∠PMB при сумме 180° и равенстве их значений должны быть по 90° каждый. 6) Значит PM ⟂ AB и M лежит на AB. Таким образом прямая PM есть перпендикуляр к AB, проходящая через середину M. 7) Следовательно P лежит на серединном перпендикуляре AB. Дополнительный практичный вариант (координатный) для наглядности. - Пусть A = (-d, 0), B = (d, 0). Тогда M = (0, 0). - Пусть P = (x, y). - Расстояния: PA^2 = (x + d)^2 + y^2, PB^2 = (x - d)^2 + y^2. - PA = PB эквивалентно PA^2 = PB^2, то есть (x + d)^2 + y^2 = (x - d)^2 + y^2. - Упрощая: x^2 + 2dx + d^2 + y^2 = x^2 - 2dx + d^2 + y^2 → 4dx = 0 → x = 0. - Следовательно P лежит на оси x = 0, то есть на оси, перпендикулярной AB и проходящей через её середину M. Значит P находится на серединном перпендикулляре. Итог. Теорема серединного перпендикуляра гласит: множество точек, равноудалённых от концов отрезка AB, совпадает с серединным перпендикуляром к AB, то есть с прямой, проходящей через середину AB и перпендикулярной AB. Это нашло подтверждение двумя сторонами: (1) прямая через M, перпендикулярная AB, содержит все точки, равноудалённые от A и B, и (2) любая точка, равноудалённая от A и B, лежит на этой прямой.