Четыре свойства парелограммы

Ниже — четыре основных свойства параллелограмма с пошаговыми объяснениями и короткими доказательствами. Сначала напомним определение: Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD. 1) Противоположные стороны параллельны - Что говорим: AB ∥ CD и BC ∥ AD. - Объяснение: Это самим свойством параллелограмма — две пары противоположных сторон лежат на параллельных прямых. - Зачем важно: из этого следует множество других свойств (например, равенство и углов, и т.д.). 2) Противоположные стороны равны - Что говорим: AB = CD и BC = AD. - Доказательство (кратко): - Рассмотрим треугольники BAC и DCA. По параллельности AB ∥ CD имеем ∠BAC = ∠DCA. - По параллельности BC ∥ AD имеем ∠BCA = ∠DAC. - Общая сторона — AC. - По признаку ASA (две угла и включенная сторона) треугольники BAC и DCA равны. - Следовательно AB соответствует CD, BC соответствует AD, значит AB = CD и BC = AD. - Значение: это значит, что пара противоположных сторон равна. 3) Противоположные углы равны - Что говорим: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. - Объяснение: Из доказательства в пункте 2 треугольники BAC и DCA равны. В этих треугольниках углы при A и C соответствуют друг другу, как и углы при B и D. Следовательно пары противоположных углов равны. - Значение: равенство противоположных углов удобно для вычислений углов и при решении задач на треугольники внутри параллелограмма. 4) Диагонали пересекаются и делят друг друга пополам - Что говорим: Диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делят друг друга пополам: AO = OC и BO = OD. - Доказательство (кратко, простой способ): возьмём координатную или векторную модель. - Пусть A = (0,0), B = (x1, y1), D = (x2, y2). Тогда C = B + D = (x1 + x2, y1 + y2). - Точка пересечения диагоналей может быть посчитана как середина AC: O1 = ((0 + x1 + x2)/2, (0 + y1 + y2)/2). - То же самое для диагонали BD: середина BD равна O2 = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). - Видно, O1 = O2, значит пересечение диагоналей находится в одной точке и делит каждую диагональ пополам. - Значение: диагонали параллелограмма всегда бисектируют друг друга, что полезно при построении и решении задач на диагонали. Короткое резюме: - AB ∥ CD и BC ∥ AD - AB = CD и BC = AD - ∠A = ∠C и ∠B = ∠D - Диагонали пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам Примеры применения: - Если дана длина одной пары противоположных сторон и угол, можно вычислить длины соседних сторон и углы, пользуясь равенствами и параллельностями. - При задании координат параллелограмм легко проверить, что диагонали бисектируются, используя средние значения координат.