Векторы а и b не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: a) За - xb = ya + b; б) 4a - xа + 5b + yb = 0; b) xа + 3b - yb = 0; г) a + b - 3уa + xb = 0.

Задача предполагает, что векторы a и b не коллинеарны, значит они образуют базис плоскости. Поэтому любую линейную комбинацию вида p a + q b равную нулю можно рассматривать как систему уравнений по коэффициентам перед a и перед b: p = 0 и q = 0.

Решим каждую часть.

1. a) a - x b = y a + b

• Перепишем в одной форме: a - x b - y a - b = 0
• Это равно (1 - y) a + (-x - 1) b = 0
• Так как a и b независимы: 1 - y = 0 и -x - 1 = 0
• Получаем y = 1 и x = -1.

Ответ: x = -1, y = 1.

2. б) 4a - x a + 5b + y b = 0

• Объединим коэффициенты: (4 - x) a + (5 + y) b = 0
• Независимость a и b даёт: 4 - x = 0 и 5 + y = 0
• Решения: x = 4, y = -5.

Ответ: x = 4, y = -5.

3. в) x a + 3 b - y b = 0

• Объединим: x a + (3 - y) b = 0
• Независимость даёт: x = 0 и 3 - y = 0
• Решения: y = 3.

Ответ: x = 0, y = 3.

4. г) a + b - 3 y a + x b = 0

• Объединим: (1 - 3y) a + (1 + x) b = 0
• Независимость даёт: 1 - 3y = 0 и 1 + x = 0
• Решения: y = 1/3 и x = -1.

Ответ: x = -1, y = 1/3.

Кратко проверка по первой части (наглядно): если подставить коэффициенты в частях и сравнить, обе стороны будут равны нулю по независимости a и b, что подтверждает корректность решений.