59. Используя график зависимости от времени проекции скорости мяча, брошенного вертикально вверх (рис. 4.8), найдите: а) начальную скорость мяча; б) время подъёма мяча; в) высоту…

Разберём задачу по классике вертикального броска с постоянным ускорением (гравитацией).

Обозначения и принципы

• Вверх положительно.
• Ускорение свободного падения g ≈ 9.8 м/с^2 (наверх = +v, ускорение = -g).
• Скорость v(t) линейна: v(t) = v0 − g t.
• Высота h(t) = ∫ v dt; при начальной скорости v0 это даёт hmax и пройденную высоту.

Данные задачи

• Начальная скорость v0 = +10 м/с (из графика v(t)).
• Ускорение: a = −g.
• Время подъёма и пройденная высота запишем по формулам ниже.

a) Начальная скорость

• По графику v(0) = +10 м/с. Значит v0 = 10 м/с вверх.

b) Время подъёма

• Время подъёма — момент, когда скорость становится равной нулю (вершина траектории).
• v(t_up) = v0 − g t_up = 0 → t_up = v0 / g = 10 / 9.8 ≈ 1.02 с.

c) Высота подъёма (максимальная высота)

• Максимальная высота достигается на t = t_up.
• Формула: h_max = v0^2 / (2 g) = 10^2 / (2·9.8) = 100 / 19.6 ≈ 5.10 м.
• Проверка через интеграл: h(t_up) = ∫0^{t_up} v dt = v0 t_up − (1/2) g t_up^2 = (10)(1.02) − 0.5(9.8)(1.02)^2 ≈ 5.10 м.

d) Две моменты, когда скорость по модулю одинакова, но противоположна по направлению Ищем два момента t1 и t2 такие, что v(t1) = +u и v(t2) = −u для некоторого u > 0. С учётом линейности v(t) = v0 − g t:

• t1 = (v0 − u) / g,
• t2 = (v0 + u) / g.

Любое допустимое u ∈ (0, v0] даст пару моментов. Приведём пример:

• Выберем u = 5 м/с.
  • t1 = (10 − 5) / 9.8 ≈ 0.510 с,
  • t2 = (10 + 5) / 9.8 ≈ 1.531 с.

Эти два момента соответствуют скорости +5 м/с и −5 м/с соответственно (одинаковая величина, противоположные направления).

Дополнительно можно отметить ещё один общий пример: времена, где скорость равна по модулю величине +v0 и −v0

• t = 0 с (v = +10 м/с) и t ≈ 2 v0 / g ≈ 2 · 10 / 9.8 ≈ 2.04 с (v = −10 м/с).

Итоги

• a) Начальная скорость: 10 м/с вверх.
• b) Время подъёма: ≈ 1.02 с.
• c) Максимальная высота: ≈ 5.10 м.
• d) Примеры двух моментов с одинаковой по модулю скоростью, но противоположной направленности: например, t ≈ 0.510 с и t ≈ 1.531 с (для u = 5 м/с); или t = 0 с и t ≈ 2.04 с (для u = 10 м/с).