59. Используя график зависимости от времени проекции скорости мяча, брошенного вертикально вверх (рис. 4.8), найдите: а) начальную скорость мяча; б) время подъёма мяча; в) высоту подъёма мяча; г) любые два момента времени, в которые скорость мяча одина- кова по модулю, но противоположна по направлению начальная скорость равна 10 м/с время равно 2 с конечная скорость равна -10 м/с

Разберём задачу по классике вертикального броска с постоянным ускорением (гравитацией). Обозначения и принципы - Вверх положительно. - Ускорение свободного падения g ≈ 9.8 м/с^2 (наверх = +v, ускорение = -g). - Скорость v(t) линейна: v(t) = v0 − g t. - Высота h(t) = ∫ v dt; при начальной скорости v0 это даёт hmax и пройденную высоту. Данные задачи - Начальная скорость v0 = +10 м/с (из графика v(t)). - Ускорение: a = −g. - Время подъёма и пройденная высота запишем по формулам ниже. a) Начальная скорость - По графику v(0) = +10 м/с. Значит v0 = 10 м/с вверх. b) Время подъёма - Время подъёма — момент, когда скорость становится равной нулю (вершина траектории). - v(t_up) = v0 − g t_up = 0 → t_up = v0 / g = 10 / 9.8 ≈ 1.02 с. c) Высота подъёма (максимальная высота) - Максимальная высота достигается на t = t_up. - Формула: h_max = v0^2 / (2 g) = 10^2 / (2·9.8) = 100 / 19.6 ≈ 5.10 м. - Проверка через интеграл: h(t_up) = ∫0^{t_up} v dt = v0 t_up − (1/2) g t_up^2 = (10)(1.02) − 0.5(9.8)(1.02)^2 ≈ 5.10 м. d) Две моменты, когда скорость по модулю одинакова, но противоположна по направлению Ищем два момента t1 и t2 такие, что v(t1) = +u и v(t2) = −u для некоторого u > 0. С учётом линейности v(t) = v0 − g t: - t1 = (v0 − u) / g, - t2 = (v0 + u) / g. Любое допустимое u ∈ (0, v0] даст пару моментов. Приведём пример: - Выберем u = 5 м/с. - t1 = (10 − 5) / 9.8 ≈ 0.510 с, - t2 = (10 + 5) / 9.8 ≈ 1.531 с. Эти два момента соответствуют скорости +5 м/с и −5 м/с соответственно (одинаковая величина, противоположные направления). Дополнительно можно отметить ещё один общий пример: времена, где скорость равна по модулю величине +v0 и −v0 - t = 0 с (v = +10 м/с) и t ≈ 2 v0 / g ≈ 2 · 10 / 9.8 ≈ 2.04 с (v = −10 м/с). Итоги - a) Начальная скорость: 10 м/с вверх. - b) Время подъёма: ≈ 1.02 с. - c) Максимальная высота: ≈ 5.10 м. - d) Примеры двух моментов с одинаковой по модулю скоростью, но противоположной направленности: например, t ≈ 0.510 с и t ≈ 1.531 с (для u = 5 м/с); или t = 0 с и t ≈ 2.04 с (для u = 10 м/с).