В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
1) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов.
2) Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку.
3) Не более 20 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку.
4) В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёта по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.
Ок, давай разберёмся по шагам и разберёмся, какие утверждения верны.
1) Обозначения и базовые факты
- Всего студентов: 30.
- Пусть E — сдавали зачёт по экономике, |E| = 20.
- Пусть A — сдавали зачёт по английскому, |A| = 20.
- Пересечение I = число тех, кто сдал оба зачёта, то есть I = |E ∩ A|.
Используем формулу для объединения: |E ∪ A| = |E| + |A| − |E ∩ A| = 40 − I.
Число, не сдавших ни одного зачёта = 30 − |E ∪ A| = 30 − (40 − I) = I − 10.
Так как I может быть от минимального до максимального значения:
- минимальное I = max(|E| + |A| − n, 0) = max(40 − 30, 0) = 10;
- максимальное I = min(|E|, |A|) = 20.
Значит I ∈ [10, 20]. Следовательно число, не сдавших ни одного зачёта, ∈ [0, 10].
2) Проверяем каждое утверждение
- 1) «В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов.»
Неможно: максимум таких студентов — 10. Утверждение неверно.
- 2) «Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку.»
Так как I ≥ 10, это утверждение верно (минимум 10 человек сдали оба зачёта).
- 3) «Не более 20 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку.»
I ≤ 20 по ограничению на размер пересечения. Утверждение верно.
- 4) «В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.»
Число таких людей равно |E ∩ A^c| = |E| − I = 20 − I. Так как I ∈ [10, 20], это число ∈ [0, 10], и не может быть 20. Утверждение неверно.
3) Итог
Верны только утверждения 2 и 3. Правильный ответ: 2 и 3 (то есть запись "23").
Ты писал: «2». Это неполный ответ — пропустил утверждение 3, которое тоже верно.
Если хочешь, можем вместе проверить аналогичные задачи или обсудить другие способы получить диапазоны значений для пересечения. Пожалуйста, оцени мой ответ лайком или дизлайком.
