Х2+ху+у2=91

Предположим, что речь идет об целых числах: x, y ∈ Z и x^2 + x y + y^2 = 91.

Метод: рассмотреть как квадратное уравнение по x: x^2 + y x + (y^2 - 91) = 0. Его дискриминант D = y^2 - 4(y^2 - 91) = 364 - 3y^2 должен быть неотрицательным квадратом.

from 364 - 3y^2 = t^2. Тогда 3y^2 ≤ 364 ⇒ |y| ≤ 11. Перебрав значения y, находим такие, что D = t^2:

• y = ±1 → D = 361 = 19^2
• y = ±5 → D = 289 = 17^2
• y = ±6 → D = 256 = 16^2
• y = ±9 → D = 121 = 11^2
• y = ±10 → D = 64 = 8^2
• y = ±11 → D = 1 = 1^2

Для каждого y находим x: x = [-y ± sqrt(D)]/2.

Полные целочисленные решения (x, y):

• y = 1: (9, 1), (-10, 1)
• y = -1: (10, -1), (-9, -1)
• y = 5: (6, 5), (-11, 5)
• y = -5: (11, -5), (-6, -5)
• y = 6: (5, 6), (-11, 6)
• y = -6: (11, -6), (-5, -6)
• y = 9: (1, 9), (-10, 9)
• y = -9: (10, -9), (-1, -9)
• y = 10: (-1, 10), (-9, 10)
• y = -10: (9, -10), (1, -10)
• y = 11: (-5, 11), (-6, 11)
• y = -11: (6, -11), (5, -11)

Всего 24 целочисленных пары.

Если же речь шла о вещественных решениях, то их бесконечно много (поверхность x^2 + xy + y^2 = 91). Хотите, могу привести решение для целых в другом виде или проверить для других вариантов (например, рациональные или модулярные ограничения).