построить график и описать его свойства у=2х-[х-3]

Задача: построить график и описать свойства функции y = 2x - [x - 3], где [·] обычно обозначает целую part floor (наибольший целый, не превосходящий аргумент).

1. Разбор и общий вид

• Пусть [x - 3] = floor(x - 3). Тогда для каждого целого n выполняется: если x ∈ [n, n + 1), то floor(x - 3) = n - 3.
• Следовательно, на каждом интервале x ∈ [n, n + 1) функция принимает вид: y = 2x - (n - 3) = 2x - n + 3. То есть на этом准 участке график — прямая со slope (наклоном) 2 и сдвигом 3 - n.

2. Поставим график по интервалам

• Общая формула: для x ∈ [n, n + 1), n ∈ Z: y = 2x - n + 3. График состоит из отрезков прямых с наклоном 2, которые меняют intercept на каждом целочисленном переходе.
• Важный момент при переходах через целые x: в x = k (k ∈ Z) функция имеет скачок вниз на 1. Левый предел при x → k− равен y_L = k + 4, а правое значение при x = k равно y_R = k + 3. Значение самой функции в x = k равно f(k) = k + 3 (это совпадает с началом следующего сегмента).

3. Примеры первых сегментов (для наглядности)

• x ∈ [0, 1): n = 0 → y = 2x + 3. График идёт от точки (0, 3) до (1−, 5−).
• x ∈ [1, 2): n = 1 → y = 2x + 2. Точка начала: (1, 4); конец: (2−, 6−).
• x ∈ [2, 3): n = 2 → y = 2x + 1. Начало: (2, 5); конец: (3−, 7−).
• x ∈ [3, 4): n = 3 → y = 2x + 0 = 2x. Начало: (3, 6); конец: (4−, 8−).
• И так далее в обе стороны по целым n.

4. Свойства графика

• Область определения: вся числовая ось R.
• Область значений (диапазон): вся R (перебираются значения на каждом сегменте, а переходы образуют непрерывный охват всех y).
• Наклон каждой прямой: 2.
• Прерывания/скачки: скачок вниз на 1 в каждой целой точке x = k (k ∈ Z).
• Пересечение с осью y: при x = 0, y = 3 → точка (0, 3).
• Пересечения с осью x (решения y = 0): на интервалах x ∈ [n, n+1) выполняется 0 = 2x - n + 3 → x = (n - 3)/2. Это должно попадать в соответствующий интервал [n, n+1). Решения дают два корня: x = -3.5 и x = -3.
• Значение в целых точках: f(k) = k + 3. Например, точки (0,3), (1,4), (2,5), (3,6), … лежат на графике (правильные точки начала каждого сегмента).

5. Как нарисовать быстро

• начертите последовательную ряд прямых сегментов со slope 2 на интервалах [n, n+1) для нескольких n (например, n = …, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).
• отмечайте скачок вниз на 1 на каждом целочисленном x.
• отмечайте точки f(k) = k + 3 на целых x (это как бы “управляющие” точки начала каждого сегмента).
• можно начать с точек (0,3), (1,4), (2,5), (3,6) и т.д., затем соединять их соответствующими отрезками с наклоном 2, учитывая скачки на целых.

Коротко:

• y = 2x - [x - 3] — это ступенчатый график, состоящий из прямых с наклоном 2, где на каждом целочисленном x происходит снижение значения на 1.
• Диапазон всех y достигается на всём вещественном числе; график непрерывен внутри каждого интервала и имеет скачки в целых точках.

Если хотите, могу нарисовать упрощённый набросок или привести последовательность точек для построения на бумаге.