Докажите неравенство abc(a + b + c) <= a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2, для произвольных чисел a, b, c
Задача: доказать для произвольных чисел a, b, c неравенство abc(a + b + c) ≤ a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2.
Покажем, что разница между правой и левой частями неотрицательна.
Обозначим D = a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 − abc(a + b + c).
Рассмотрим сумму квадратов S = (ab − ac)^2 + (ab − bc)^2 + (ac − bc)^2.
Раскроем каждое слагаемое:
- (ab − ac)^2 = a^2(b − c)^2 = a^2 b^2 − 2a^2 bc + a^2 c^2
- (ab − bc)^2 = b^2(a − c)^2 = a^2 b^2 − 2ab^2 c + b^2 c^2
- (ac − bc)^2 = c^2(a − b)^2 = a^2 c^2 − 2abc^2 + b^2 c^2
Суммируя, получаем S = 2(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2) − 2abc(a + b + c) = 2D.
Следовательно, D = S/2 = 1/2[(ab − ac)^2 + (ab − bc)^2 + (ac − bc)^2] ≥ 0, так как сумма квадратов неотрицательна.
Значит a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 ≥ abc(a + b + c), что и требовалось доказать.
Класс равенства: равенство достигается тогда, когда ab = ac = bc, то есть либо a = b = c, либо выполняются условия, при которых все три произведения равны нулю (например, две переменные равны нулю).
