16x³-32x²-x+2=0

Разберём уравнение 16x^3 − 32x^2 − x + 2 = 0 пошагово. Цель: понять путь к разложению многочлена на множители и найти корни. 1) Найдём возможный простой корень (по разумному предположению и правилу рациональных корней) - Пример: попробуем x = 2. Подставим: 16(8) − 32(4) − 2 + 2 = 128 − 128 − 0 = 0. - Значит x = 2 — корень, и (x − 2) — множитель многочлена. 2) Разложение по синтетическому делению (или деление на (x − 2)) - Разделим 16x^3 − 32x^2 − x + 2 на (x − 2). - Коэффициенты: 16, −32, −1, 2. - Синтетическое деление: - Спускаем 16. - 16 · 2 = 32; −32 + 32 = 0. - 0 · 2 = 0; −1 + 0 = −1. - (−1) · 2 = −2; 2 + (−2) = 0. - Частное: 16x^2 + 0x − 1 = 16x^2 − 1. 3) Разложение квадратичного множителя - 16x^2 − 1 это разность квадратов: (4x)^2 − 1^2 = (4x − 1)(4x + 1). 4) Полное разложение и корни - Итак, исходный многочлен раскладывается как: (x − 2)(16x^2 − 1) = (x − 2)(4x − 1)(4x + 1). - Приравниваем к нулю и находим корни: - x − 2 = 0 → x = 2 - 4x − 1 = 0 → x = 1/4 - 4x + 1 = 0 → x = −1/4 Ответ: x = 2, x = 1/4, x = −1/4. Пояснение на пальцах: - Сначала заметили, что x = 2 точно удовлетворяет уравнению, значит (x − 2) — множитель. - Остаток после деления был 16x^2 − 1, который легко раскладывается на (4x − 1)(4x + 1). - Это даёт все три корня сразу.