16x³-32x²-x+2=0

Разберём уравнение 16x^3 − 32x^2 − x + 2 = 0 пошагово.

Цель: понять путь к разложению многочлена на множители и найти корни.

1. Найдём возможный простой корень (по разумному предположению и правилу рациональных корней)

• Пример: попробуем x = 2. Подставим: 16(8) − 32(4) − 2 + 2 = 128 − 128 − 0 = 0.
• Значит x = 2 — корень, и (x − 2) — множитель многочлена.

2. Разложение по синтетическому делению (или деление на (x − 2))

• Разделим 16x^3 − 32x^2 − x + 2 на (x − 2).
• Коэффициенты: 16, −32, −1, 2.
• Синтетическое деление:
  • Спускаем 16.
  • 16 · 2 = 32; −32 + 32 = 0.
  • 0 · 2 = 0; −1 + 0 = −1.
  • (−1) · 2 = −2; 2 + (−2) = 0.
• Частное: 16x^2 + 0x − 1 = 16x^2 − 1.

3. Разложение квадратичного множителя

• 16x^2 − 1 это разность квадратов: (4x)^2 − 1^2 = (4x − 1)(4x + 1).

4. Полное разложение и корни

• Итак, исходный многочлен раскладывается как: (x − 2)(16x^2 − 1) = (x − 2)(4x − 1)(4x + 1).
• Приравниваем к нулю и находим корни:
  • x − 2 = 0 → x = 2
  • 4x − 1 = 0 → x = 1/4
  • 4x + 1 = 0 → x = −1/4

Ответ: x = 2, x = 1/4, x = −1/4.

Пояснение на пальцах:

• Сначала заметили, что x = 2 точно удовлетворяет уравнению, значит (x − 2) — множитель.
• Остаток после деления был 16x^2 − 1, который легко раскладывается на (4x − 1)(4x + 1).
• Это даёт все три корня сразу.