y⁶+4y⁴=y²+4

Задача: y^6 + 4y^4 = y^2 + 4

Цель: понять решение пошагово.

Решение

1. Перенесем все в одну сторону: y^6 + 4y^4 - y^2 - 4 = 0

2. Разложим по группам, выделив общий множитель: (y^6 + 4y^4) - (y^2 + 4) = y^4(y^2 + 4) - 1(y^2 + 4) = (y^2 + 4)(y^4 - 1)

3. Разложим дальше y^4 - 1: y^4 - 1 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)

   Итак, полное разложение: (y^2 + 4)(y^2 - 1)(y^2 + 1) = 0

4. Найдем корни из каждого фактора:

   • y^2 + 4 = 0 → y^2 = -4 → y = ± 2i
   • y^2 - 1 = 0 → y^2 = 1 → y = ± 1
   • y^2 + 1 = 0 → y^2 = -1 → y = ± i

Ответы

• В общем виде (комплексные числа): y ∈ { -2i, -i, -1, 1, i, 2i }.
• Только реальные корни: y = -1 и y = 1.