Z=-1+i

Заданное число: z = -1 + i. Цель: понять и разобрать его по шагам. 1) Модуль и аргумент - Модуль: r = |z| = sqrt((-1)^2 + (1)^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2). - Аргумент (угол в полярной системе): рассуждаем по знакам реальной и мнимой частей. Re(z) = -1, Im(z) = 1 → точка в второй четверти. tan φ = |Im/Re| = 1, значит φ = π/4, а вторая четверть → θ = π - π/4 = 3π/4 (или 135°). - Следовательно z = r (cos θ + i sin θ) = sqrt(2) [cos(3π/4) + i sin(3π/4)]. 2) Экспонентическая полярная форма - z = sqrt(2) e^{i 3π/4}. 3) Конъюгат - Комплексное сопряжение: z* = -1 - i. 4) Вычисление степеней (приклад De Moivre) - z^2: (-1 + i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i. Также по формуле: z^2 = r^2 [cos(2θ) + i sin(2θ)] = (sqrt2)^2 [cos(3π/2) + i sin(3π/2)] = 2 [0 - i] = -2i. - z^3: по алгебре z^3 = z^2 z = (-2i)(-1 + i) = 2i - 2i^2 = 2i + 2 = 2 + 2i. Проверка через формулу: z^3 = r^3 [cos(3θ) + i sin(3θ)] = (sqrt2)^3 [cos(9π/4) + i sin(9π/4)] = 2√2[cos(π/4) + i sin(π/4)] = 2√2(√2/2)(1 + i) = 2(1 + i) = 2 + 2i. - Несколько итогов: - z^2 = -2i - z^3 = 2 + 2i - z^4 = z^2 · z^2 = (-2i)^2 = -4 - Общее правило: z^n = (√2)^n [cos(n · 3π/4) + i sin(n · 3π/4)]. 5) Графическое представление (кратко) - z находится в точке (-1, 1) на комплексной плоскости, имеет модуль sqrt(2) и угол 135°. Краткое резюме - z = -1 + i = sqrt(2) (cos 3π/4 + i sin 3π/4) = sqrt(2) e^{i 3π/4}. - z* = -1 - i. - z^2 = -2i, z^3 = 2 + 2i, z^4 = -4, и далее по формуле z^n = (√2)^n [cos(n·3π/4) + i sin(n·3π/4)]. Если хочешь, могу продолжить с конкретной задачей: найти z в степени n, посчитать z^n для заданного n, или решить уравнение с этим z. Скажи, что именно нужно сделать.