доказать что в параллелограмме все углы равные при условии что диагонали равны
Задача: в параллелограмме диагонали равны. Доказать, что все углы прямые (то есть параллелограмм — прямоугольник), следовательно, углы равны по 90°.
Пусть ABCD — параллелограмм (AB ∥ CD, BC ∥ AD). Обозначим:
- AB = a, BC = b (a > 0, b > 0),
- угол B = ∠ABC = β.
- Найдём длины диагоналей через закон косинусов.
- Диагональ AC разделяет треугольник ABC. По закону косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2·AB·BC·cos∠ABC = a^2 + b^2 − 2ab cos β.
- Диагональ BD разделяет треугольник BCD. Угол ∠BCD равен углу C параллелограмма, и соседние углы в параллелограмме supplementary, поэтому ∠BCD = ∠C = 180° − β, и cos∠BCD = cos(180° − β) = −cos β. Тогда по закону косинусов: BD^2 = BC^2 + CD^2 − 2·BC·CD·cos∠BCD. Так как в параллелограмме CD = AB = a, и cos∠BCD = −cos β, получаем: BD^2 = b^2 + a^2 − 2ab(−cos β) = a^2 + b^2 + 2ab cos β.
По условию диагонали равны: AC = BD ⇒ AC^2 = BD^2.
Подстановка даёт уравнение: a^2 + b^2 − 2ab cos β = a^2 + b^2 + 2ab cos β. Сокращаемоста: −2ab cos β = 2ab cos β ⇒ 4ab cos β = 0.
Так как a > 0 и b > 0, то cos β = 0. Значит β = 90°.
- Следствие:
- Угол B равен 90°. В параллелограмме противолежащие углы равны, а соседние углы суммируются до 180°. Следовательно, все углы прямые (A = B = C = D = 90°).
Итак, в параллелограмме, в которой диагонали равны, все углы являются прямыми. Это значит, что такая параллелограмма — прямоугольник.
Замечание (альтернативный подход): можно привести и координатное доказательство (задавая координаты вершин и выписывая равенство длин диагоналей). Если нужно, могу привести краткую версию.
