диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, угол ABO=36° найдите угол AOD
Ответ: угол AOD равен 72°.
Разбор по шагам (для прямоугольника ABCD, диагонали пересекаются в O):
- Введение обозначений
- Пусть AB = b (горизонтальная сторона) и BC = h (вертикальная сторона).
- Координаты удобны взять: A(0,0), B(b,0), C(b,h), D(0,h). Точка пересечения диагоналей O — середина прямоугольника: O(b/2, h/2).
- Express угол ABO через соотношения сторон
- Вектор BA направлен вдоль отрицательной оси x: BA = A − B = (−b, 0).
- Вектор BO: O − B = (b/2 − b, h/2 − 0) = (−b/2, h/2).
- Угол ABO — это угол между BA и BO. Его тангенс можно найти через наклоны прямых или через скалярное произведение, но проще заметить, что BO имеет наклон (изменение y)/(изменение x) = (h/2)/(−b/2) = −h/b.
- Угол между BA (направление −x) и BO равен по величине arctan(h/b). Поэтому: tan(ABO) = h/b.
Дано: ABO = 36°. Значит h/b = tan(36°).
- Найдём угол AOD между диагоналями
Векторы от O к концам диагоналей: OA = A − O = (0 − b/2, 0 − h/2) = (−b/2, −h/2), OD = D − O = (0 − b/2, h − h/2) = (−b/2, h/2).
Косинус угла AOD даётся скалярным произведением: OA · OD = (−b/2)(−b/2) + (−h/2)(h/2) = (b^2 − h^2)/4. |OA| = |OD| = sqrt((b/2)^2 + (h/2)^2) = (1/2) sqrt(b^2 + h^2). Поэтому cos(∠AOD) = (OA · OD) / (|OA||OD|) = ( (b^2 − h^2)/4 ) / ( (1/4)(b^2 + h^2) ) = (b^2 − h^2)/(b^2 + h^2).
Вводим t = h/b. Тогда cos(∠AOD) = (1 − t^2) / (1 + t^2).
Заметим тождество для двойного угла: cos(2θ) = (1 − tan^2 θ) / (1 + tan^2 θ). Если θ = arctan t, то cos(2θ) = (1 − t^2)/(1 + t^2).
Вывод: ∠AOD = 2 arctan t = 2 arctan(h/b).
- Применение данных
- Ранее нашли h/b = tan(ABO) = tan(36°).
- Значит ∠AOD = 2 · 36° = 72°.
Ответ: 72°.
