x²+6x-27=(x-9)(a)

Задача: x^2 + 6x - 27 = (x - 9) (a)

Разберём по шагам.

1. Считать a постоянной (как для всеx x)

• Если a — константа, правая часть не содержит x^2, тогда в равенстве не может совпасть коэффициент при x^2 слева и справа.
  • левая сторона имеет x^2 с коэффициентом 1;
  • правая сторона (x - 9)·a имеет только линейный член и константу: ax - 9a, без x^2.
• Следовательно, для константы a равенство не может быть тождеством для всех x. Нет такого постоянного a, чтобы x^2+6x-27=(x-9)a для всех x.

2. Если же a может зависеть от x (то есть искать a как функция x)

• Тогда можно записать a(x) = (x^2 + 6x - 27) / (x - 9), при x ≠ 9.
• Выполним деление многочлена на (x - 9):
  • Разделим x^2 на x: получаем x.
  • Умножаем обратно: x(x - 9) = x^2 - 9x, отнимаем: (x^2 + 6x - 27) - (x^2 - 9x) = 15x - 27.
  • Разделим 15x на x: получаем 15.
  • Умножаем: 15(x - 9) = 15x - 135, отнимаем: (15x - 27) - (15x - 135) = 108.
  • Остаток 108.
• Итого: x^2 + 6x - 27 = (x - 9)(x + 15) + 108 Следовательно a(x) = (x^2 + 6x - 27) / (x - 9) = x + 15 + 108/(x - 9).
• Итог: если позволено a = a(x), то решение таково: a = x + 15 + 108/(x - 9) (для x ≠ 9).

3. Дополнительная заметка (пояснение)

• Левую часть можно разложить как (x - 3)(x + 9). Но (x - 9) не является её фактором, поэтому в виде произведения (x - 9)·(что-то) это разложение невозможно без остатка.
• Поэтому существование константы a невозможно; факт наличия остатка 108 при делении на (x - 9) объясняет несогласие.

Кратко:

• Для константы a равенство невозможно.
• Если a может зависеть от x: a(x) = (x^2 + 6x - 27) / (x - 9) = x + 15 + 108/(x - 9).