с помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник авс если угол А=30°, С=75°, б=4,5°
Дано: угол A = 30°, угол C = 75°, сторона b = 4,5 (предположим, что это длина стороны b, не градусы).
Найдём оставшийся угол B B = 180° − (A + C) = 180° − (30° + 75°) = 75°.
По теореме синусов найдём стороны a и c
Теорема синусов: a / sin A = b / sin B, c / sin C = b / sin B.
Считаем a: sin A = sin 30° = 1/2, sin B = sin 75° = (√6 + √2)/4. a = b · sin A / sin B = 4.5 · (1/2) / [(√6 + √2)/4] = 4.5 · (1/2) · [4 / (√6 + √2)] = 9 / (√6 + √2) = (4.5/2) · (√6 − √2) по технике умножения на сопряжённый, следовательно, a = (b/2) · (√6 − √2).
Численно: a ≈ 4.5/2 · (2.44949 − 1.41421) ≈ 2.25 · 1.03528 ≈ 2.329.
- Считаем c: c = b · sin C / sin B = 4.5 · sin 75° / sin 75° = 4.5. То есть c = 4.5.
Итого по синусам: a ≈ 2.329, b = 4.5, c = 4.5, углы: A = 30°, B = 75°, C = 75° (как и было дано частично).
- Проверка через теорему косинусов (для проверки) Так как знаем b и c и угол A между ними (в треугольнике угол A против стороны a, между сторонами b и c угол A действительно между b и c), применим косинусную формулу: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A.
С учётом b = c = 4.5 и cos A = cos 30° = √3/2: a^2 = 4.5^2 + 4.5^2 − 2·4.5·4.5·(√3/2) = 40.5 − 40.5·(√3/2) ≈ 40.5 − 35.074 ≈ 5.426. a ≈ √5.426 ≈ 2.329.
Совпадение с результатом по синусам подтверждает правильность решения.
Ответ:
- Угол B = 75°
- Стороны: a ≈ 2.329, b = 4.5, c ≈ 4.5
- Углы: A = 30°, B = 75°, C = 75°.
