из вершин b и d параллелограмма ABCD у которого AB не параллельна BC и угол а острый проведены перенди перпендикулярны BK и DM к прямой AC докажите что четырёхугольник bmdk…

Разберём задачу пошагово.

Данные и обозначения

• ABCD — параллелограмм, AB ∥ CD и BC ∥ AD.
• Угол A острый, AB не параллельна BC.
• BK ⟂ AC с точкой K на AC.
• DM ⟂ AC с точкой M на AC.
• Нужно доказать, что BMDK — параллелограмм (то есть противоположные стороны параллельны и равны).

Постановка в координатах (пояснение и шаги)

1. Удобно выбрать систему координат так, чтобы ось x совпадала с линией AC. Пусть A = (0, 0), C = (c, 0) с c > 0. Тогда AC — ось Ox.

2. Познакомимся с точками B и D. Так как ABCD — параллелограмм, векторы AB и AD задают остальные вершины. Пусть B = (p, q) с q ≠ 0 (угол A острый обеспечивает, что B не лежит на оси AC). Тогда D = C − B = (c − p, −q) (поскольку C = B + D при A = 0).

3. Точки K и M — проекции B и D на ось AC (на ось Ox), так как BK и DM перпендикулярны AC: K = (p, 0), M = (c − p, 0).

Доказательство нужного параллелограмма 4) Рассмотрим одну пару противоположных сторон:

• BK и DM: BK = K − B = (0, −q), DM = M − D = (0, q). Эти векторы параллельны и противоположны по направлению, то BK ∥ DM. Следовательно, в квадилатерале BMDK одна пара противоположных сторон параллельна.

5. Рассмотрим другую пару противоположных сторон:

   • BM и DK. Вычислим векторы: BM = M − B = (c − p − p, 0 − q) = (c − 2p, −q), DK = K − D = (p − (c − p), 0 − (−q)) = (2p − c, q) = −(c − 2p, −q). Таким образом, BM = − DK, следовательно BM ∥ DK и длины |BM| = |DK|.

6. Из пунктов 4 и 5 следует, что оба набора противоположных сторон параллелограмма: BM ∥ DK и BK ∥ DM, а также пары противоположных сторон равны по длине. Значит, квадрат BMDK является параллелограммом.

Дополнительное замечание (альтернативное доказательство)

• Можно заметить, что середины BD и MK совпадают: середина BD равна ((p + (c − p))/2, (q + (−q))/2) = (c/2, 0); середина MK равна ((p + (c − p))/2, (0 + 0)/2) = (c/2, 0). Поэтому диагонали BD и MK пересекаются в общем середине, что в любом четырехугольнике эквивалентно being параллелограммом. Это тоже даёт тот же вывод.

Итог

• При заданных условиях углы и перпендикуляры к AC обеспечивают BK ⟂ AC и DM ⟂ AC, BK ∥ DM.
• Дополнительная пара BM ∥ DK получилась из координатного построения (или из свойства диагоналей, пересекающихся в одной точке посередине).
• Таким образом, четырехугольник BMDK является параллелограммом.