К заданной функции f(х) найдите обратную функцию и построй те их графики в одной координатной плоскости: 2) y = 2 - 3x 4) y = 3 - 2x

Отлично. Разбираем для каждой функции отдельно: найдём обратную функцию и кратко обсудим графики, чтобы их можно было построить в одной плоскости. По условию цель — понять, поэтому будут подробности и проверки. Общие замечания - Для линейной функции f(x) = a x + b с a ≠ 0 обратная функция существует и тоже линейна. - Обратная функция получается путём замены x и y и решения уравнения относительно новой переменной. - Графики f и f^{-1} являются отражениями друг друга относительно прямой y = x. 1) Задача 2: f(x) = y = 2 - 3x 1) ПроверкаInvertibility: - Коэффициент при x равен -3, не ноль, значит функция строго линейна и биекция на всей области определения. Обратная функция существует. 2) Нахождение обратной функции: - Меняем местами переменные: x = 2 - 3y. - Решаем относительно y: -3y = x - 2 ⇒ y = (2 - x)/3. - Итак, f^{-1}(x) = (2 - x)/3. Можно переписать как f^{-1}(x) = -(1/3) x + 2/3. 3) Графики и взаимное расположение: - График f: y = 2 - 3x. Копье пересечения с осью y: (0, 2). Точка пересечения с осью x: 0 = 2 - 3x ⇒ x = 2/3. Дополнительная точка: f(1) = -1, т.е. (1, -1). Уклон -3. - График f^{-1}: y = (2 - x)/3 = -(1/3)x + 2/3. Точка на оси y: (0, 2/3). X-перехват: y = 0 ⇒ 0 = (2 - x)/3 ⇒ x = 2. Так что точка (2, 0) лежит на графике обратной функции. Уклон -1/3. - Пересечение графиков f и f^{-1} находится на линии y = x (это свойство). Решим 2 - 3x = x → 2 = 4x → x = 1/2. Значит точка пересечения: (1/2, 1/2). - Быстрая проверка композиций: f(f^{-1}(x)) = 2 - 3[(2 - x)/3] = 2 - (2 - x) = x, и f^{-1}(f(x)) = (2 - (2 - 3x))/3 = (3x)/3 = x. Это подтверждает корректность обратной. 4) Как построить графики в одной плоскости: - Постройте прямую f: через (0,2) и (2/3,0) (или через (0,2) и (1,-1)). - Постройте прямую f^{-1}: через (0,2/3) и (2,0) (или через (0,2/3) и (-1,1)). - Эти две прямые будут симметричны относительно линии y = x. - Как опорный ориентир можно нарисовать линию y = x и отметить точку пересечения у обеих графиков: (1/2, 1/2). Итого: - Обратная функция для 2): f^{-1}(x) = (2 - x)/3. - Графики: f имеет уклон -3, f^{-1} имеет уклон -1/3; точки пересечения графиков: (1/2, 1/2). 2) Задача 4: f(x) = y = 3 - 2x 1) ПроверкаInvertibility: - Коэффициент при x равен -2, не ноль. Значит функция invertible на всей плоскости. 2) Нахождение обратной функции: - Меняем местами переменные: x = 3 - 2y. - Решаем относительно y: -2y = x - 3 ⇒ y = (3 - x)/2. - Итак, f^{-1}(x) = (3 - x)/2. Можно переписать как f^{-1}(x) = - (1/2)x + 3/2. 3) Графики и взаимное расположение: - График f: y = 3 - 2x. Ось y-перехват: (0, 3). Точка пересечения с осью x: 0 = 3 - 2x ⇒ x = 1.5. Доп. точка: f(1) = 1. - График f^{-1}: y = (3 - x)/2. Ось y-перехват: (0, 3/2). Точка пересечения с осью x: 0 = (3 - x)/2 ⇒ x = 3. Так что (3, 0) лежит на обратной функции. Уклон -1/2. - Пересечение графиков f и f^{-1} находится на линии y = x. Решим 3 - 2x = x → 3 = 3x ⇒ x = 1. Таким образом, точка пересечения: (1, 1). - Быстрая проверка композиций: f(f^{-1}(x)) = 3 - 2[(3 - x)/2] = 3 - (3 - x) = x, и f^{-1}(f(x)) = (3 - (3 - 2x))/2 = (2x)/2 = x. 4) Как построить графики в одной плоскости: - Постройте график f: через (0,3) и (1.5,0) (или через (1,-?); например, f(-1) = 5). - Постройте график f^{-1}: через (0, 1.5) и (3, 0). - Эти прямые также являются отражениями друг друга относительно линии y = x. - В качестве ориентира можно нарисовать линию y = x и отметить точку пересечения: (1, 1). Итого по задаче 4): - Обратная функция: f^{-1}(x) = (3 - x)/2. - Графики: f имеет уклон -2, f^{-1} — уклон -1/2; пересечение графиков на (1,1). Заключение - Для обеих данных функций обратные существуют, графики являются отражениями друг другу относительно линии y = x. - Обратные функции: - Для y = 2 - 3x: f^{-1}(x) = (2 - x)/3. - Для y = 3 - 2x: f^{-1}(x) = (3 - x)/2. - Полезно также помнить точки пересечения с линией y = x: они дают симметричность графиков и помогают проверить корректность построения. Если хочешь, могу привести ASCII-карты или подсказать конкретные координаты дополнительных точек для точной отрисовки на листе.