масса яблока имеет математическое ожидание 200 г и стандартное отклонение 50 г. оцените вероятность того что в 100 кг окажется не менее 490 яблок

Дано:

• Масса одного яблока X имеет математическое ожидание E[X] = μ = 200 г и стандартное отклонение σ = 50 г.
• Мы хотим оценить вероятность того, что в 100 кг (100000 г) окажется не менее 490 яблок.

Метод:

• Пусть S_n = X1 + X2 + ... + Xn — сумма масс первых n яблок ( Xi — независимы, одинаково распределены).
• E[S_n] = nμ, Var(S_n) = nσ^2, стандартное отклонение SD(S_n) = σ√n.
• Условие "в 100 кг поместится не менее 490 яблок" эквивалентно тому, что суммарная масса 490 яблок не превосходит 100000 г: S_490 ≤ 100000.

Применяем центральную предельную теорему:

• S_490 приблизительно нормально распределена с параметрами:

  • среднее: E[S_490] = 490 μ = 490 · 200 = 98000 г
  • дисперсия: Var(S_490) = 490 σ^2 = 490 · 2500 = 1 225 000
  • стандартное отклонение: SD(S_490) = √1 225 000 ≈ 1106.8 г

• Вычисляем z-значение для порога 100000 г: z = (100000 − 98000) / 1106.8 ≈ 2000 / 1106.8 ≈ 1.806

• Вероятность: P(S_490 ≤ 100000) ≈ Φ(1.806) ≈ 0.964 (значение функции распределения нормальной величины в точке 1.806).

Ответ:

• Приближённо 96.4% вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок.

Замечания:

• Делаю стандартное допущение: массы яблок независимы и одинаково распределены. Чем ближе распределение X к нормальному, тем точнее аппроксимация S_490; при n = 490 CLT работает достаточно хорошо.
• Среднее число яблок, которые можно поместить в 100 кг, теоретически равно 100000 / 200 = 500. Вопрос о вероятности N ≥ 490 получается довольно высокой из-за относительного риска разброса масс каждой яблоки (σ = 50 г).