масса яблока имеет математическое ожидание 200 г и стандартный отклонение 50 г. оцените вероятность того что в 100 кг окажется не менее 490 яблок. решить с помощью неравенства…

Задача: масса яблока имеет математическое ожидание μ = 200 г и стандартное отклонение σ = 50 г. Найти вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок, решив с помощью неравенства Чебышёва.

Предположения: массы яблок независимы и одинаково распределены. Обозначим Xi — масса i-го яблока. Тогда E[Xi] = μ = 200 г, Var(Xi) = σ^2 = 50^2 = 2500 г^2.

1. Рассмотрим сумму 490 яблок: S = X1 + X2 + ... + X490.

2. Ожидаемое значение и дисперсия S:

• E[S] = 490 · μ = 490 · 200 = 98 000 г.
• Var(S) = 490 · Var(Xi) = 490 · 2500 = 1 225 000 г^2.

3. Событие, которое нас интересует: S ≤ 100 000 г — то есть за 100 кг можно уместить как минимум 490 яблок.

4. Применяем неравенство Чебышёва (двустороннее): Пусть a = 100000 − E[S] = 100000 − 98000 = 2000 г. Тогда P(|S − E[S]| ≥ a) ≤ Var(S) / a^2.

Для нас важно нижнее ограничение на P(S ≤ E[S] + a). Заметим, что событие {|S − E[S]| ≤ a} является подмножеством события {S ≤ E[S] + a}, следовательно P(S ≤ E[S] + a) ≥ P(|S − E[S]| ≤ a) ≥ 1 − Var(S)/a^2.

5. Численно: Var(S)/a^2 = 1 225 000 / (2000)^2 = 1 225 000 / 4 000 000 = 0.30625.

6. Отсюда P(S ≤ 100000) ≥ 1 − 0.30625 = 0.69375.

Ответ: Вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок, по неравенству Чебышёва, не меньше 0.69375, то есть около 69.4%.

Замечание: это надёжная (но консервативная) граница. Если бы можно было использовать более точное распределение (например, нормальное приближение через центральную предельную теорему), получилась бы существенно более высокая оценка (примерно около 0.96 для нормального распределения). Но по условию задачи просили именно решение через неравенство Чебышёва.