Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А(1;-5), В(2;3), С(-3;1), D(-4;-7) является параллелограммом

Задача: доказать, что ABCD с вершинами A(1; -5), B(2; 3), C(-3; 1), D(-4; -7) является параллелограммом. Способ 1. По направлению сторон (покажем, что обе пары противоположных сторон параллельны) 1) Найдём наклоны сторон AB и CD. - AB: A(1, -5) → B(2, 3) slope m_AB = (3 - (-5)) / (2 - 1) = 8/1 = 8. - CD: C(-3, 1) → D(-4, -7) slope m_CD = (-7 - 1) / (-4 - (-3)) = (-8) / (-1) = 8. Так как m_AB = m_CD, стороны AB и CD параллельны. 2) Найдём наклоны сторон BC и AD. - BC: B(2, 3) → C(-3, 1) slope m_BC = (1 - 3) / (-3 - 2) = (-2) / (-5) = 2/5. - AD: A(1, -5) → D(-4, -7) slope m_AD = (-7 - (-5)) / (-4 - 1) = (-2) / (-5) = 2/5. Так как m_BC = m_AD, стороны BC и AD параллельны. Имеем две пары противоположных параллельных сторон AB ∥ CD и BC ∥ AD, значит ABCD является параллелограммом. Способ 2 (проверка через середины диагоналей, как дополнительное подтверждение) 3) Найдём середины диагоналей AC и BD. - Точка середины AC: M_AC = ((1 + (-3))/2, (-5 + 1)/2) = (-2/2, -4/2) = (-1, -2). - Точка середины BD: M_BD = ((2 + (-4))/2, (3 + (-7))/2) = (-2/2, -4/2) = (-1, -2). Точки середины совпадают, диагонали AC и BD пересекаются в своей середине, что тоже характерно для параллелограмма. Вывод: стороны AB ∥ CD и BC ∥ AD (или совпадение середины диагоналей) доказывают, что ABCD является параллелограммом.